Z równania charakterystycznego det(Al-A) = 0

1+5

-0,5

A+5

= A² + 10A+50 = 0

obliczamy wartości własne

Aj = —5+j5 ; A₂ = —5—j5

Stosujemy rozwinięcie funkcji macierzy w szereg skończony oraz twierdzenie Cayleya--Hamiltona

e*^l‘ = a₀4-a_x A_{x e}(-⁵⁺J⁵)' = a₀+a_x(—5 + j5)

e*^jt = a₀+a_x A_{2 e}(-^5_J⁵>‘ = a₀+<x₂(—5 — j5)

Po wykonaniu obliczeń otrzymujemy

a₀ = e~⁵‘(sin 5t+cos 51) a_x = 0,2e^-5‘sin 5f

-[

[—e^_5*sin —0,le^_5'si

e — g(q l + oc_x A

e~⁵'(sin 5t+cos 51) 0

51 10e^-5‘sin5t

sin 5f — e“

e ^5t(sin 5t+cos 5t)J

5f 10e^-5‘sin 5l

sin 5f e^_5‘cos 51

‘sin 5tl T e ^5fcos :

‘sin 5tJ |_—0,le^_s‘si

Rozwiązaniem równania stanu jest wektor x = e^A'x„

przy czym

_ r«_Cp(o)i _ r «_c(o) - «c/o)i _ r-33,51

^X° “ L i_ŁP(0)J " L iii0) - iiM J “ L 0,5J

Zatem

[~ e^-5*cos5t 10e^_5‘sin 5fl f— 33,51 I^- — 33,5e^_5‘cos 5t + 5e^_5‘ sin 5fl

^{X —} |_—0,le^-5‘sin 51 e~⁵‘cos 5t J |_ 0,5J |_ 3,35e~⁵'sin 5t+0,5e~⁵‘cos 5f J

u_Cp = (—33,5e~⁵‘cos 5t+5e~⁵‘sin 51) V i_Lp = (3,35e~^s‘sin 5t+0,5e^_5‘cos 51) A

Dokonując superpozycji odpowiednich składowych ustalonych i przejściowych, otrzymujemy

u_c = «cii+^mcp = [65 sin (lOt—58°) —33,5e^_5‘cos 5i + 5e^-5‘sin 5i] V h = Ilu+Ilp = [65 sin (lOf—58°) + 3,35e~⁵‘sin 5f+0,5e^_5‘cos 5f] V

240