Równanie charakterystyczne macierzyA ma postać [6 sir. 65}:
det{A —Al] * Oi
czyli
[~2_A _A_^] «= 0 lub (5 + A)(A + l)+4 a* 0.
Skąd wartości własne macierzy A wynoszą
Ax = A2 = -3.
Otrzymaliśmy jedną wartość własną dwukrotną.
Teraz obliczamy macierz wykładniczą w postaci dwumianu [6 str. 66]
e4* =» fl0l+«iA,
gdzie nieznane współczynniki a0 i <zt wyznaczamy z równań
e*ł * a0+«i A’ dA te14 = al. a, w Ze3' *= <e-3',
d
czyli
Stąd
Zatem
a0 = eA‘+3/eA' = e-3'(l +3/). e4* = e-3'(l +3t)l-ł-te-3'|~2 _f|
r(l+3/)e-3‘-5te-3' 2/e-3‘l
L-2te-3' (1 + 3/]e-3' —te-3łJ
Zmienne stanu wynoszą
m-3t
Stąd
l(10-20/)e
[(10+20/)e
"31
-3.J-
*! « (10 — 20/)e-3.' A, *2 _ (10+20/)e-3'V.
4.44. W obwodzie przedstawionym na rysunku przed zamknięciem wyłączników prądy w cewkach nie płynęły, a napięcie na kondensatorze wynosiło U0 = 2 V. Parametry elementów obwodu wynoszą: £ = 1V, J? = 4 fi, L == 1H, C = 0,5 F. Obli*
Rys. «Jo zad. 4.44