197

Równanie charakterystyczne macierzyA ma postać [6 sir. 65}:

det{A —Al] * Oi

czyli

[~2^_A __A_^] «= ⁰ lub (5 + A)(A + l)+4 a* 0.

Skąd wartości własne macierzy A wynoszą

A_x = A₂ = -3.

Otrzymaliśmy jedną wartość własną dwukrotną.

Teraz obliczamy macierz wykładniczą w postaci dwumianu [6 str. 66]

e⁴* =» fl₀l+«iA,

gdzie nieznane współczynniki a₀ i <z_t wyznaczamy z równań

e*^ł * a₀+«i ^A’ dA te¹⁴ = a_l. a, w Ze³' *= <e^-3',

d

czyli

Stąd

Zatem

a₀ = e^A‘+3/e^A' = e^-3'(l +3/). e⁴* = e^-3'(l +3t)l-ł-te^-3'|~2 _f|

r(l+3/)e-³‘-5te^-3'    2/e^-3‘l

L-2te^-3'    (1 + 3/]e^-3' —te^-3łJ

Zmienne stanu wynoszą

_m-3t

Stąd

(1 +3/)e'

M _vs.fi-*    i r 01

1*2J ;    L l+2zJlloJ

1-2/ 2/1 —2/ 1+2/J’

l(10-20/)e

[(10+20/)e

"³1

-3.J-

*! « (10 — 20/)e^-3.' A, *₂ _ (10+20/)e-³'V.

4.44. W obwodzie przedstawionym na rysunku przed zamknięciem wyłączników prądy w cewkach nie płynęły, a napięcie na kondensatorze wynosiło U₀ = 2 V. Parametry elementów obwodu wynoszą: £ = 1V, J? = 4 fi, L == 1H, C = 0,5 F. Obli*

Rys. «Jo zad. 4.44