TOB15

Równanie charakterystyczne

Wartości własne

iai — ai = o

= A² + 25A + 100 = 0

Aj — — 5; Aj = — 20

Do obliczenia macierzy e^Al zastosujemy dwie metody:

—    metodę wzoru Sylvestera,

—    metodę rozwinięcia w szereg skończony (metodę Cayleya-Hamiltona).

Metoda wzoru Sylyęstera

Wzór Sylvestera dla dwóch wartości własnych Aj i A₂ ma postać

e^A< =

4    1

_e-5t _ _e^-20f

3    3

-20t

Zatem

x_p =

^ ~-51 ,    1 --201

L"T5^{e +}15⁶

20 20 3    3

¹    51    ⁴

--e~⁵‘ + —e"

3    3

-50

0

_^ł_e-^5t + — e~²⁰⁽ 3    3

— e^-5t — —e^-20t 3    3

Zatem

Napięcie na kondensatorze

wc(0 = “cu + u_Cp = ^50 + ^e^_20t - ^e^_5tj ^v

Prąd w cewce

i_L(t) = ku + k_P = (o + H_e-⁵* _ Y^e~²⁰') ^A

Metoda rozwinięcia w szereg skończony (metoda Cayleya-Hamiltona)

Przy dwóch wartościach własnych

e^At = oto(01 + a_t(t)A

w celu obliczenia współczynników oto(t) oraz a_t(t) piszemy dwa równania e¹*¹' = oto (t) + ot_t(t)    Ai = - 5

e*²* = ao(t) + «i(t) k₂; k₂ = - 20

stąd

^e~⁵' = oto(t) - 5di(t) e^_20t = «o(t) - 20oc,(t)

stąd

«o(0 = ye ~^5t — je^_20t «iW = ^-e-⁵‘-l-e-^20t

Mając współczynniki oto(f) i a^t) można obliczyć wykładniczą funkcję macierzy

Otrzymaliśmy wynik zgodny z wynikiem uzyskanym metodą Sylvestera.

5.20. W obwodzie jak na rys. 5.20a w chwili t = 0 został zamknięty łącznik W. Obliczyć prąd płynący przez cewkę oraz napięcie na kondensatorze w stanie nieustalonym. Obliczenie przeprowadzić metodą zmiennych stanu. Dane: E = 5 V; I_ź = 2 A; R_x = 1 O; R₂ = 4 Q; C = 125mF; L = 8/7H.