KIF27

elementów j/ pr/ez elementy Jt, czyli rodzinę V spełniającą następujące warunki:

(1)    A X/\ Y[Xejf a Ye *-XnYc '€},

(2)    /\Z[Ze*-+ V*V W* }'c ałAZ=A'nł')J.

Na przykład, skrzyżowaniem podziałów j/, źt zbioru wszystkich ludzi:

.✓«= (zbiór łudzi pracujących, zbiór ludzi niepracujących;, 3t * {zbiór kobiet, zbiór mężczyzn} jest rodzina zbiorów (zbiór kobiet pracujących, zbiór mężczyzn pracujących, zbiór kobiet niepracujących, zbiór mężczyzn niepracujących}.

(a)    Zbadaj, czy rodzina jest podziałem zbioru ludzi.

(b)    Podaj przykład dwu innych podziałów zbioru łudzi i wskaż rodzinę, będącą skrzyżowaniem tych podziałów.

157.    Niech U będzie zbiorem pięciocłcmcntowym:

U={a_lt a_t, a_a, a_it a_B}.

Wskaż rodziny zbiorów, powstające przez skrzyżowanie każdej pary podanych niżej podziałów zbioru U. Zbadaj, która z tych rodzin jest podziałem zbioru U.

(a)    j/,= {{a„a_t), {o,, a_t. Oj}}

(b)    •**= {{«*. o*.    fa.4}}

(c)    a/₃= {{a,, o,}. {%. a_t, a₉}}

158.    Dwa podziały danego zbioru, których skrzyżowani; prowadzi do nowego podziału tego zbioru, nazywamy podzielani nicraleinpni. Tak więc, podziały j/. 3t zbioru łudzi, podane w zadaniu 156, są niezależne. Natomiast podziały ■ <4, 9 tegoż zbioru:

(zbiór studentów, zbiór osób, które nic są studentami.. 9* (zbiór niemowląt, zbiór osób nic będących niemowlętami) są zaUrine, bowiem rodzina powstająca przez ich skrzyżowanie

IW zawiera jako element zbiór piuty (wszak nic ma studiujących niemowląt!), a więc nie jest podziałem.

Które spośród podziałów podanych w zadaniu 157 są niezależne? Podaj przykład podziału niezależnego względem podziału

159*. Wykaż, że zbiór niepustych elementów rodziny, powstającej przez skrzyżowanie podziałów danego zbioru, jest podziałem tego zbioru.

160. Parę uporządkowaną przedmiotów a. b oznaczamy symbolicznie: <a, by. Para <o, b} różni się od zbioru a. b} (pary nieuporządkowanej) przede wszystkim ustaloną kolejnością swych elementów: przedmiot <z jest w niej wyróżniony jako pierwszy. Tak więc. jeśli a*b, to:

<0. &>*</>,«>.

Natomiast :

<o. by <r, d} s (<z=c a b=d).

Nadto, w odróżnieniu od par nieuporządkowanych, elementy par uporządkowanych nic muszą być różne, a powtórzenie tego samego elementu w parze uporządkowanej /mienia ją w trójkę uporządkowaną:

<a. a. b}^(a, by.

Iloczynem (produktem) kartezjańikim zbiorów A. B (symbolicznie: A XB) nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowanych. których pierwsze elementy należą do A. drugie zaś do B:

<.v. yy e A X Bsx e A ay e B.

Na przykład, gdy:

A*(Sokrates, Platon},

/*= {Platon. Arystoteles!.