MAT27

27

Niżej cytujemy twierdzenie, które ustala związek między zbieżnością całki niewłaściwej, a zbieżnością szeregu liczb rzeczywistych.

Tw. (kryterium całkowe zbieżności szeregów liczbowych). Niech odwzorowanie

f: R [&,+co[-> R, gdzie k g N, będzie cicigłe, nieujemne oraz malejące w swej dziedzinie i niech

+« 00

lim_/(.v) = 0. Wówczas całka niewłaściwa j f{.x)dx istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy szereg Z A") jest

n=k

zbieżny.

Przykłady

cc

1. Aby zbadać zbieżność szeregu liczbowego ^ —j4- określamy funkcję -

n^m2

f : [2,+co[3 a- -<• A^x) ■- ~rr^m ' bez trudu stwierdzamy, że jest ona na przedziale [2,+oo[ ciągła, nieujemna i malejąca (/(a) = —rfr-(ln²A + 2lnx) < 0 dla a- g [2,+co[). Ponadto,

x" In*

lim /Ta) = lim —V- = 0 oraz

x—kxi jlrrj

+oo    p

f dx    f ^(ln.v)    _1:„ T 1

Aln²A p-+-'-'J )n^Ł.Y ą-+«l_ lnp

In 2

In 2

< +00

Stąd oraz z kryterium całkowego wynika, że szereg ^ jest zbieżny.

/i=2

2. Niech /: [l.+cc[3 a -»/(a) := -~e~^. Tak określona funkcja jest ciągła, nieujemna i malejąca

v*'

(/(-V) =	^1 1 e~J ^x 2 Jx = lim -}=-ć .X—KC •KO
	! ~k

u.\ — ni u    —— ^ ’ u,\ — mii —jLZ *r z.c i — z

p-—oo J    p-T-s. L.    J

| —j=-e~J* dx = 2 f e~J*d(ja ) = -2e~^.

CC

Stąd oraz z kryterium całkowego wynika, że szereg ^    j^est zbieżny.

/I-l

3. Aby zbadać zbieżność całki niewłaściwej J 4- sin 4<& zauważmy, że odwzorowanie

f : [l,+co[9 x -* A^x) ^:= 4" sin 4 j^est ciągłe, nieujemne i malejąjące

((7^sinł) = -^-sinT + 7-cos4-(-^-) = —jr(2sin4 + 4cos4) < OdlaA g [1,+oo[)

w

swej dziedzinie. Poza tym. lim/(a) = lim 4- sin 4 = lim 4—^r^- = O • 1 =0 oraz szereą

^{J    J} ’ .T—KC^{7 V 7}    .X—KO .X-    *^T    KO ,x³ -f    °

CO

Y, 4- sin 4 jest zbieżny (wystarczy zauważyć, że 0 < 4- sin 4 < 4- dla n g i zastosować

n»l

kryterium porównawcze dla szeregów liczbowych). Stąd oraz z kryterium całkowego wynika, że

-KO

całka niewłaściwa j" 4- sin 4^ jest zbieżna.

1

Zadania

Stosując kryterium całkowe, zbadać zbieżność szeregów

CO

1 Y —

ć—l 3 +/r ’

co

E(*) ■

Opracował: Marian Malec