skanowanie0004

Es>*5 .12. Równania kwadratowe z parametrem

Czasem rozpatrujemy zagadnienia dotyczące całej rodziny funkcji lub równań kwadratowych.

Przykład 1

Dla jakich wartości parametru m funkcj zerowe?

Wykresem funkcji y = (x — m)² + m jest parabola, której wierzchołek ma współrzędne (m, m), czyli leży na prostej y = x. Z rysunku odczytujemy, że funkcja y = (x — m)² + m ma dwa miejsca zerowe dla m € (—00; 0).

Ćwiczenie 1

Dla jakich wartości parametru m funkcja y = (x—m)²+m ma dwa miejsca zerowe będące liczbami ujemnymi?

Przykład 2

Dla jakich wartości parametru m równanie: 2x² — mx + 2 = 0 ma dwa różne pierwiastki?

Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki, gdy A > 0. Współczynniki trójmianu: a = 2, b = —m, c = 2, zatem:

A = (-m)² - 4 • 2 - 2 = m² - 16 m² = 16 (m = —4 lub m = 4)

Szkicujemy wykres A(m) = m² - 16 i na jego podstawie odczytujemy rozwiązanie:

A > 0 45 m 6 (—00; —4) U (4; 00).

Równanie ma dwa różne pierwiastki, gdy m e (—00; —4) U (4; 00).

Ćwiczenie 2

Dla jakich wartości parametru m równanie 2x² - mx + 2 = 0: a) ma dokładnie jedno rozwiązanie, b) nie ma rozwiązań?

214    5. Funkcja kwadratowi