str02 (2)

Jeżeli dla danego obwodu napiszemy równania różniczkowe zgodnie z prawami Kirchhoffa, to równania te można tak przekształcić, aby otrzymać jedno równanie w zapisie macierzowo-wektorowym o postaci

(14.193)

Jt(f) = A x(t) + B u(t)

przy czym:

JĆ(/)    .

A

B

wektor będący pochodną względem czasu wektora stanu; macierz obwodu (układu) o wymiarach n x n; macierz wymuszeń o wymiarach n xp.

Równanie (14.193) jest zwane równaniem stanu obwodu elektrycznego. Macierze A i B w obwodzie liniowym mają elementy stałe, stanowiące kombinację parametrów obwodu.

Jeżeli ponadto chcemy wyznaczyć np. napięcie na rezystorach lub cewkach i prądy ładowania kondensatorów, które są zależne od zmiennych stanu, to formułujemy drugie równanie o postaci

y(£)-Cx(£) + Du(l)

(14.194)

przy czym:

y(t) -wektor odpowiedzi;

C    -macierz odpowiedzi o wymiarach: (J X lt

D    -macierz transmisyjna układu o wymiarach ^ P .

Równanie (14.194) jest nazywane niekiedy równaniem odpowiedzi (wyjścia) i stanowi układ równań algebraicznych.

Równania (14.193) i (14.194) są pisane przeważnie obok siebie i tworzą parę równań

x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(f)=Cx(0 + Du(t)

(14.195)

która opisuje stan obwodu w

warunkach dynamicznych i statycznych (przy •%(?) — 0 ).

Metodę zmiennych stanu charakteryzuje:

•    odrębny od dotychczasowego zapis matematyczny równań obwodu elektrycznego, będący zapisem uporządkowanym macierzowo-wek torowym;

•    możliwość opisania obwodu układem równań, w których występuje tylko pierwsza pochodna zmiennych stanu;

•    ogólny charakter rozważań umożliwiający analizowanie obwodów różnej klasy, a więc zarówno obwodów liniowych, nieliniowych jak i niestacjonarnych;

•    możliwość jednoczesnego wyznaczania zmienności w czasie wielkości będących zmiennymi stanu w obwodzie;

•    łatwość prowadzenia obliczeń przy użyciu komputerów.

14.9.2. Formułowanie równań stanu

Przystępując do analizy obwodu elektrycznego metodą zmiennych stanu przede wszystkim wybieramy zmienne stanu, a następnie formułujemy równania obwodu tak, aby miały one postać znormalizowaną.

Oznacza to, że po lewej stronie wystąpią tylko pierwsze pochodne zmiennych stanu, a po prawej stronie same zmienne oraz funkcje wymuszające. Współczynniki tych równań są kombinacją parametrów obwodu.

W przypadku obwodów prostych, zawierających kilka elementów reaktancyjnych (cewek i kondensatorów) oraz dla kilku wymuszeń napięciowych i prądowych, stosujemy pierwsze i drugie prawo

2