Wyklad (11)

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ue “ = ln — O —e x x

C y ~y/_x C

_    1—0 fx — _

X

Oder

y = Ce^J

(5)

Beschreibung des Yerfahrens. Lasst sich die vorgelegte Dgl auf die Form

- Ay

/=/

X)

(6)

zuruckfuhren, so wird die Dgl homogen genannt. Setzt man in (5) u = — dann ergibt sich eine Dgl mit u ais abhangigen Variablen. In dieser Dgl lasst sich die Trannerung der Variabeln durchfuhren. Gelingt es die darauffolgende Integration durchzufuhren und setzt man in die erhaltene Relation — fiłr u(x) ein, so kommt man

JC

zu einer Bezeichnung zwischen x und y. Im letzten Schritt, wenn es móglich, wird die Beziehung nach y bzw. x aufgelóst.

Aufgabe 10. Ermittle die allgemeinen Lósungen folgender Dgl

dv

a).(xy'= x + 2y);    b).(y - 2x)y' = x + 2 y;    c).(x + y)~ = x-

ax

d)(x + y)y'-2y = 0; e).4y + 5x + (3y + 4x)y= 0; f).xy'= y + ^4x² -y² ; g).xy' =y + ^9x²+y² ;    h).(x² + y² )y-2xy = 0;

Bemerkung: das Adjektiv homogen ist doppeldeutig. Es bezeichnet namlich eine Klasse von DifFerentialgleichung der Form

Y’+p(x)y=q(x),

Bei der q(x) = 0. In diesem Kapitel bedeutet, dass eine Dgl homogen ist, wenn sie die Form (6)hat. Diese Doppelbedeutung des Wortes hat sich eingebiirgert und deswegen ist einige Aufmerksamkeit nótig, urn Verwechslung zu vermeiden.

Methode der „Variation der Konstanten”

Hinfiides fuhrendes Beispiel. Es sei die DifFerentialgleichung

xy^r + 3y = x    (l)

vorgelegt. Es ist eine inhomogene Dgl. Die zur ihr gehórige homogene Dgl hat die Form, die sich ergibt, wenn die rechte Seite von (1), gleich 0 gesetzt wird

xy' + 3y = 0 , x * 0,y * 0.    (2)

Die Trennung der Yariablen fiihrt auf eine Dgl dereń Integration ergibt