zrzut ekranu 5

1. Rozwiązywanie rownan jednorodnych

Poprzez postawienie x = e^rt, ^ = re^rt, = r²e^rt uzyskujemy wielomian charakterystyczny postaci:

ar² + br + c = 0    (2)

Rozwiązanie równania jednorodnego (1) zależy od wartości A = Ir — 4ac.

1.    Jeśli A > 0, to wielomian charakterystyczny (2) ma dwa pierwiastki rzeczywiste r\ =    oraz r₂ =

~^b2<f^ ¹ rozwi4^zani^e równania różniczkowego ma postać:

x(t) = C _ie^rit + C₂e^r2t.

2^ i rozwiązanie

2.    Jeśli A = 0, to wielomian charakterystyczny ma jeden podwójny pierwiastek rzeczywisty r = ~^b

równania różniczkowego ma postać:

rt

x(t) = C\te^rt + C₂e^rt.

3. Jeśli A < 0, to wielomian charakterystyczny ma dwa pierwiastki zespolone rą =    oraz r₂ = _2a ,

które możemy napisać w prostszej formie przyjmując nowe oznaczenia a = ^, (3 = jako r\ = a + Bi, r₂ = a — (Bi. Rozwiązanie równania różniczkowego ma wówczas postać:

x{t) = e^at(Ci cos{(Bt) + C₂ sin(/3f)).