skan0006 (9)

32

2. Zauważmy, że rozwiązanie ogólne równania jednorodnego

y' + y = 0

ma postać

yo(x) = Ce~^x.

Wyznaczmy teraz całkę szczególną równania niejednorodnego. Zgodnie z me| todą uzmiennienia stałej całki tej szukamy w postaci:

Y(x) = L(x)e~^x.

Stąd

Y\x) = L'(x)e~^x - L(x)e~^x.

Wstawiając wyrażenia na Y i Y¹ do równania, otrzymamy

L'(x)e~^x - Ł(x)e~^x 4- L(x)e~^x =

1 - ■

a stąd

+ e~

e^x + e“*’ 2e~^2x

1 + e~^2x ‘

Podstawmy

1 + e ^2x = t, wówczas — 2e ^2xdx = dt.

Korzystając teraz z twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie, mamy

L(x) = J ^1 - j~^~_e__2x ^ dx = x+f ®+lⁿ|t|+Ci = ®+ln(H-e~^2a:)+Ci.

Oczywiście

Y(x) = L{x)e~^x = e~^x [x + ln(l + e~^2x)] jest całką szczególną równania niejednorodnego, a więc całka ogólna ma postać

y(x) = yo(x) + Y(x) = Ce~^x + e~^x [x + ln(l + e~^2x)]

= e-^x[C + x + \n{l + e-*^2x)].

Odp.: y(x) = e~^x [C + x + ln(l + e^-2*)].

3. Całka ogólna równania jednorodnego

y' + 2y = 0

ma postać

2/p(®) ■ Ca

Całkę ogólną równania niejednorodnego y' + 2y = ®³ można wyznaczyć metodą uzmiennienia stałej. Zauważmy, iż w naszym zadaniu całkę szczególną można też wyznaczyć metodą przewidywań, gdyż g(x) = 2 oraz f(x) = 2x³. Zgodnie z podanymi uwagami dotyczącymi metody przewidywań całki szczególnej szukamy w postaci .

Y(x) = Ax³ + Bx² + Cx + D, '

gdzie A, B, C i D są stałymi, które należy tak wyznaczyć, aby funkcja Y spełniała nasze równanie. Stąd

Y'(x) = 3Ax² + 2Bx + C

i po wstawieniu do równania mamy

3 Ar² + 2 Bx + C + 2[Ax³ + Bx² + Cx + D] = 2x³.

Równość ta ma być spełniona dla każdego x. Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach x, otrzymamy układ na wyznaczenie stałych, więc

z³

x²

x

X*

2A = 2 3A + 2B = 0 2 B + 2C = 0 C + 2D = 0

IN) rozwiązaniu tego układu mamy a więc całka szczególna ma postać:

3 ₂    3-    3

Y(x)*== x - -x² +

V{x) = Vo(x) + Y(xmCe~^2x + x³ - \x² +

Z    Z ~r

Odpił y =» Ce”²® + x³ - |®² + |® - j,

*» I iłttwo zauważyć, że

y₀(x) = Ce“®

JbnŁ całką ogólną równania Jednorodnego

V' I- V * 0