Strona0048

48

2.6.2.    Tłumienie krytyczne A = O, czyli n = co₀

Rozwiązanie ogólne równania (2.74) ma w tym przypadku postać:

x = e~^nt(C_l+C₂t)    (2.79)

Stale C_u C₂ zależą od warunków początkowych i wynoszą:

Cj = jcq, C₂—x_q + nx_Q    (2.80)

Po podstawieniu stałych (2.80) do równania (2.79) otrzymano:

x = e~^nt [*₀ + (x₀ + nx_Q) t]    (2.81)

Z otrzymanego wzoru wynika, że x -> 0, gdy czas t-> oo. Oznacza to, że uldad dąży do równowagi.

W zależności od warunków początkowych układ może przejść przez położenie równowagi w skończonym czasie. Czas ten można obliczyć z równania:

x_Q + (x₀ + nx₀ )t* = 0    (2.82)

Równanie (2.82) może mieć co najwyżej jedno rozwiązanie dodatnie

/* =--52—    (2.83)

x₀+nx₀

Jeżeli x₀ i x₀ są tak dobrane, że t* > 0, to uldad przechodzi przez położenie równowagi w czasie /*. Po przejściu przez położenie równowagi układ oddala się od położenia równowagi, a następnie wraca asymptotycznie do położenia. Przebieg drgań przedstawiono na rys. 2.15. Krzywa 1 przedstawia przypadek, gdy układ nie przechodzi przez położenie równowagi, krzywa 2 - gdy uldad przechodzi przez to położenie.

2.6.3.    Tłumienie podkrytyczne A < 0, czyli n < tt>₀

Rozwiązanie ogólne równania (2.52) ma teraz postać: x = e~^nt (C_t cosa)_xt + C₂ sin co,t)    (2.84)

gdzie:

(2.85)