matma13

wykorzystujemy do wyznaczania rozwiązania ogólnego równania cząstkowego. Np. dla równania

xu +2u -y mamy układ charakterystyk — = — = — , Tworzymy z niego dwa równania. Rozwiązaniem

^y    x 2 y

dx dy . x 2

np. równania — = ~ jest y - 21n|x| + C, a równania ~^_r = — jest u = y² +D . Wyznaczamy stąd stałe

dy _ du

2-J

C-y- 21n|x|, D-u-y¹. Rozwiązanie ogólne równania cząstkowego ma w związku z tym postać F(y-2\n\x[u - y² )= 0, gdzie F jest dowolną funkcją dwóch zmiennych. Szukana funkcja u nie więc tu podana wprost ale w postaci uwikłanej.

7.Rozwiązać: 1 )u_x+ 2 xyu_y = 2 u¹ 2) u_x+u_y= 2 u 3) uu_x = yu_y 4) xu_x + yu_y=u 5) u_x sin x + u_y sin y = sin u

y

x

6)yuu_x + xuu_y =xy l)-u_x-^u_y =u-5 %')xu_x-2yu_y^u-x 9)xu_x+yu_y+3zu_z =4u

Wykorzystać: są to równania ąuasiliniowe. Rozwiązujemy je tak samo jak równania liniowe niejednorodne.

8.Rozwiązać: 1 )u_x+ {.2e^x - y)u_y = 0, u = y dla x = 0 (czyli u(0, y) = y 2) xu_x = 2yu_y + zu_z,

u{[,y,z)= y² +sinz 3)xu_x + yzu₂ =0, u{x,yX) = x^y 4)2yu_x=u_y, w(x,0) = sinx + e^x 5)(l + x²)w_x +^xyu_y =0,

u(0,y)=y³ 6)yu_x+zu_z= 0, u(x,y,l) = x² +arctgy 7) (z - y)² u_x + zu_y + yu₂ = 0, w(0,y,z) = 2y(y-z)

8)^^ +yu_y =u, x = t, y = t, u=t² 9)x(y² +u)u_y-y(x² +u)u_y =(x² -y²\, x + y-0, z-1 10)2yww_r + y = 2u_y, y² -4u² =36, x + w = 5 11 )yu_x +uu_y = y, x² + y² = 1, x + w = 0

12)y[xu_x + -yfyu_y +4zu_z =0, w(l,y,z) = y-z 13)xu_x + yu_y=u, x = /², y-2t, u = 1

Wykorzystać: najpierw wyznaczamy rozwiązanie ogólne danego równania a potem wykorzystujemy podane

f_x\

warunki. Np. dla xu_x + yu - 0, w(l,y) = y : rozwiązanie ogólne jest postaci u = F — . Podany warunek

UJ

oznacza, że F

'O

= y. Teraz przyjmujemy a-— i otrzymujemy F(a) = — co oznacza, że szukane

y

a

X

rozwiązanie szczególne jest postaci u = — (za a wstawiamy — ). Np. dla xu_x + yu - zu₂ = 0, F(x,l, z) = x + z :

x    y

rozwiązanie ogólne jest postaci u = F

z

yx j

. Podany warunek oznacza, że F

(1

przyjmujemy, że a = —, b-xz i stąd wyznaczamy x i z. Po wstawieniu do F

x

\

xz

Vx )

-,xz yx )

x + z. Teraz

= x + z otrzymujemy, że

a

a

1    x    1

F(a,b) = --f - ab . Stąd wynika, że szukane rozwiązanie szczególne jest postaci u = — + yz (do F(a,b) = ~~ + ab

y

za a wstawiamy —, za b zaś xz ). Gdy rozwiązanie równania jest postaci F(f(x,y,u),g(x_iy,u))= 0 wówczas x

przekształcamy układ równań złożony z podanych warunków oraz równań C- /(x,y,w), D = g(x,y,u) tak, aby uzyskać równanie, w którym wystąpią tylko C i D, a następnie w ich miejsce wstawiamy funkcje f i g. Tak otrzymane równanie będzie szukanym rozwiązaniem szczególnym. Np. dla 2uyu_x + y - 2u , y² - 4u² = 36,

x + u = 5: rozwiązanie ogólne jest postaci F

1    9    2

u--y ,x + u

4

= 0 . Mamy więc układ równań: y² - 4u² = 36.

x + w = 5, C-u- —y², D = x + u². Po jego przekształceniu otrzymujemy równanie C + T> + 4 = 0 co oznacza, 4

że rozwiązaniem szczególnym jest u ——y²+x +u² + 4 = 0.

3