page0376

368

Równania

pomiędzy ilościami wiadomemi i niewiadomemi wynikają związki dające równanie, w takim razie wartość otrzymana dla niewiadomej po rozwiązaniu tegoż równania, będzie odpowiedzią na pytanie zagadnienia. Wielkiej w.ęc jest wagi możność rozwiązania równania, co polega na następujących, bardzo prostych i widocznych zasadach: 1) jeżeli do obu stron równania dodamy, albo od obu stron odejmiemy po jednej i tej samej ilości, wartość dla niewiadomej się nie zmieni i 2) wartość dla niewiadomej się nie zmieni przez pomnożenie albo podzielenie obu stron równania przez jednę i tęż samą ilość. Na mocy tych własności możemy przenosić wyrazy z jednej strony na drugą ze znakami zmie-nionemi na przeciwne, uwalniać wyrazy od mianowników i t. d. Weźmy n. p. x

równanie 4#-|-¹/₁₅=9———³/₅, pomnożywszy obie strony równania przez

liczbę 30, wielokrotną wszystkich mianowników, otrzymamy 120#-}- 2=270 5# - -18, równanie, którego wyrazy wolne są od mianowników; dodając do obu stron tego równania po 5# i odejmując po 2, otrzymamy równanie 120# -J-5#=270—18—2, w którem wyrazy zawierające niewiadomą zebrane zostały na pierwszej, a wyrazy wiadome na drugiej stronie; wykonawszy wskazane działania otrzymujemy: 125# =250. uwolniwszy nalconiec niewiadomą od współczynnika, przez podzielenie obu stron przez 125, otrzymujemj^r #=2. Ta wartość 2 podstawiona w dane równanie za x da: 8-{-^l/₁₅=9—¹/₃—³/₅, a po wykonaniu działań otrzymujemy tożsamość 8-j-¹/₁₅=8-j-¹/_t5. Równania dzielą się na algebraiczne i transcendentalne (przeslepue); pierwsze są wtenczas, kiedy pomiędzy niewiadomą i wiadomemi zachodzi dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, podnoszenie do potęg, wyciąganie pierwiastków; transcendentalne zaś wtedy, kiedy niewiadoma jest funkcyją transcendentalną (ob. Fun-Ircyja). Pomiędzy jednemi i drugiemi są równania wykładnicze, liczone niekiedy do transcendentalnych, w których niewiadoma jest wykładnikiem. Równania algebraiczne dzielą się na stopnie; równanie jest stopnia pierwszego, gdy niewiadoma jest z wykładnikiem 1; stopnia drugiego, gdy niewiadoma jest z wykładnikiem 2, lub gdy w jednym wyrazie jest iloczyn z dwóch niewiadomych w stopniu pierwszym; równanie stopnia trzeciego, gdy niewiadoma jest z wykładnikiem 3, lub wyraz zawiera iloczyn z trzech niewiadomych w stopniu pierwszym, albo iloczyn z dwóch niewiadomych, z których jedna jest z wykładnikiem 2, druga z wykładnikiem 1. Prócz tego odróżniają równania według liczby niewiadomych do składu ich wchodzących. Mówić tu będziemy tylko o równaniach z jedną niewiadomą, gdyż równania z większą liczbą niewiadomych drogą rugowania (ob. Rugowanie) sprowadzają się do jednego równania z jedną niewiadomą. Nadmieniamy tylko, że liczba równań powinna być taż sama co liczba niewiadomych; - jeżeli niewiadomych jest mniej niż równań, równanie a tern samem zagadnienie będzie niewyznaczone; gdy zaś liczba równań większa _,est od hczby niewiadomych, zagadnienie może być niepo-dobnem do rozwiązania, a przynajmniej wiadome muszą zadosyć czynić pewnym równaniom warunkowym. Postępując sposobem wyżej przywiedzionym z jakiemkolwiek równaniem stopnia pierwszego z jedną niewiadomą, dojdziemy

b

w końcu do równania postaci <2#—ń, zkąd X——Pomijamy zastanawianie się

nad rozmaitemi przypadkami szczególnemi, które należy do wykładu szczegółowego algebry. Z równań stopnia drugiego najprostsze jest składające się Z wyrazu zawierającego niewiadomą z wykładnikiem 2 i z wyrazu wiadomego.