page0492

584

Rugowanie

nia otrzymujemy: x

c—by    c'—by

-, z drugiego a?—----,

a    a

pomeważ te dwie

_c — by d ~~ a ’

nie z jedną niewiadomą y, z którego wartość tejże niewiadomej otrzymamy, a znajdujemy ją dla x, postępując jak wyżej. Sposób 3-ci: Rugowanie przez sprowadzenie którejkolwiek niewiadomej do jednakowych współczynników. Chcąc z powyżej podanych równań wyrugować a?, mnożę pierwsze równanie przez ot a drugie przez a, co daje: aa'x -4- abx — dc, adx -f- aby ~ ad, te dwa równania, w których niewiadoma x znajduje się ze spółczynnikaini je-dnakowemi, odejmuję od siebie (jgdyby przy współczynnikach niewiadomej x były znaki przeciwne, należałoby równania dodać do siebie) i otrzymuję

ad—dc

(ał/    db) y *=: ad — dc, zkąd y —-——--—■ ; dla otrzymania zaś wartości

dla x postępuje się jak wyżej. Sposób 4-ty podany przez Bezout'a, polegający na wprowadzeniu czynnika nieoznaczonego-, pomnóżmy którekolwiek równanie np. pierwsze przez m, będzie amx -J- bmy — cm i to równanie dodajmy albo odejmijmy od drugiego równania, dodawszy będzie: (am-\-d) x -f- (brn |- b')y — cm -J- d, aby się pozbyć z tego równania którejkolwiek niewiadomej, np. y, potrzeba, aby m było takie, iżby bm -j- b‘, to jest spółczynnik

,    V

przy y był równym o, uczyniwszy więc bm -j- ł/ —0, otrzymujemy m ——,

podstawiwszy więc tę wartość za m w równanie (am -\-a') X    (bm -f- b') y =c,

„ '— ab'    \    — b'c

otrzymamy

wartości x muszą być sobie równe, przeto mamy

d — b'y

rowna-

/— ab    \    — b'c

( —^— -f- a' )x ——^— -j- d, czyli (a'b — ab') x =. bd—b'c, bd — b'c    b'c — bd

a przeto x —

albo x

podstawiwszy otrzymaną wiir-

db — ad ’ “^1UU ^ —ab' — a'b tość dla x w którekolwiek równanie dane otrzymamy równanie, z którego wyznaczymy wartość dla y. Każdy z czterech wymienionych sposobów można zastosować do rugowania niewiadomych z ilukolwiek równań z takąż liczbą niewiadomych. Mając np. cztery równania z czterema niewiadomemi: X, y, z, u, w takim razie używając sposobu 1°, wyprowadzilibyśmy wartość dla niewiadomej którejkolwiek, np. u, z jednego równania i te podstawilibyśmy na miejsce tejże niewiadomej w trzy inne równania, a otrzymalibyśmy tym sposobem trzy równania z trzema niewiadomemi; wyprowadziwszy podobnie z jednego z 3-ch równań otrzymanych wartość dla niewiadomej np. z i podstawiwszy ją za z w dwa inne równania, otrzymamy dwa równania z dwiema niewiadomemi, od których przejdziemy następnie do jednego równania z jedną niewiadomą. Po-dobnymże sposobem postępowalibyśmy z inną jakąkolwiek liczbą równań. Zastanówmy się teraz nad dwoma równaniami stopnia 2° z dwiema niewiadomemi: ay²bxycx* dyfxg — o i dy*^b'xy-\-cx* + d,yĄ-fx-\-g— o. Aby z tych równań wyrugować jedne z niewiadomych, np. y, najprzód trzeba otrzymać równanie niezawierające y z wykładnikiem 2, w tym celu pomnóżmy pierwsze równanie przez a', drugie zaś przez a, i jedno odejmijmy od drugiego, tym sposobem otrzymamy:

(db—ab') xy-\ (dc—ad)x^% (a'd — ad') yĄ~(a'f—afj x-}-dg — ag'=o czyli (a'b—ab') xĄ-dd —adf^y Ą-(a'c—ad) x²-\-(df-—af') xĄ-a'g—ag'—o,