page0444

436

Różniczkowy rachunek

kiem różniczkowym rzędu drugiego, podobnież otrzymamy spółczynnik różnicz-

dto

kowy rzędu trzeciego 11. d. i nakoniec spółczynnik różniczkowy rzędu

dⁿy

n ^tee° wyrazi się przez ~7~Z, w liczniku którego n nie jest wykładnikiem, lecz

wyraża rzęd społczynnika różniczkowego, jak łownie d nie jest spółczynni-kiem, lecz znakiem działania. Rachunek różniczkowy ma za przedmiot wyszukiwanie różniczek i współczynników różniczkowych funkcyj wszelkiego rodzaju, zastanawianie się nad ich własnościami oguinemi i zastosowaniem do analizy lub geometryi. Różniczkowanie wszelkich funkcyj algebraicznych zasadza się na dwóch wzorach następujących, d(u -o — w) — du-\- do — dw i d. uv — udo -j- odu (gdzie u, U, w są funkcyjami zmiennej X). Ze wzoru ostatniego wyprowadzamy d. uost—uvsdl -{- uotds -\-usldo -f- vstdu_y albo dzie-

d. uvst. dt ds do du

lac wszystkie wyrazy przez uost, mamy: --—=——-\---1--- -I--: tu-

’    uvst t S V u

u vdu — udo

dzież d. — ~--. Różniczkując funkcyje transcednntalne otrzymu-

log. a. dx

dx

jemy: d.logx — M. - —, gdzie M jest modułem; d. a^x

d. wsł. x — dost. x. dx; d. dost. X — — wst. xdx, i t. d. Sposoby podawane w rachunku różniczkowym, stosują się zarówno do funkcyj wyraźnych i niewyraźnych o zmiennych ilukolwiek Różniczkowanie takich funkcyj prowadzi do równań różniczkowych, to jest, do równań zawierających w składzie swoim różniczki. Równania takie dzielą, mając na uwadze różniczki rzędu najwyższego do składu ich wchodzące. Zastosowania rachunku różniczkowego nader są liczne; za pomocą niego wszelkie funkcyje rozwijamy w szeregi; w nim uzupełniają się zastosowania metod analitycznych do geometryi podane przez Descartes’a. Na odkrycie rachunku różniczkow^rego, naprowadziło zagadnienie geometryczne, a mianowicie zagadnienie o linijach stycznych. Fermat podał swój sposób, Cavalieri swoją geomefryją niepodzielnych, otworzył nową drogę, na którą wszedł Wallis, ogłosiwszy swoję arytmetykę nieskończenie małych (arithmetica infinitorum), wtedy to Barrow podał ogólne rozwiązanie zagadnienia na wszystkie przypadki, w których równanie krzywej zawiera zmienne (spółrzędne) z wykładnikami całkowitemi i dodatnemi. Newton w liście swoim z d. 10 Grudnia 1672 r. podał rozwinięcie sposobu Barrow’a, które w innej niż wyżej podana postaci, niewyraźnie zawierało w sobie rachunek różniczkowy. Niewiadomo, czyli list ten doszedł rąk Leibnitz’a, a przeto czyli Leibnitz równie jak Newton jest twórcą tego rachunku; pierwszeństwo wynalezienia tego rachunku, było przedmiotem żyw^rego sporu między tymi genijalnymi ludźmi albo raczej między ich stronnikami. Wszystkie dokumenta mogące posłużyć do usprawiedliwienia roszczeń jednego i drugiego, zebrało towarzystwa królewskie w Londynie i ogłosiło p. t.; Commercium epistolicum de analysi pro-mota (1712). Zbadanie tych dowodów prowadzi do przekonania, że Leibnitz’owi słusznie należy się udział w chwale Newton’* z odkrycia rachunku różniczkowego, którą to chwałę powodowani miłością sławy kraju rodzinnego, niektórzy geometrowie angielscy chcieli bez podziału zlać na imię swego współrodaka. Leibnitz udzelił wiadomość światu uczonemu o wynalezieniu rachunku róż-