page0446

438

Rachunek różniczkowy

summą nieskończenie wielkiej liczby przyrostów, począwszy od pewnej chwili przyjętej za początkową, aż do chwili, w której też zmienną bierzemy. Znaleźliśmy poprzednio że funkcyja a + bxⁿ daje różniczkę nbx^{n l}dx, co dowodzi, że ilości stałe połączone za pomocą dodawania lub odejmowania z wyrazami zawierającemi zmienne, w różniczkach znikają, przeto w przykładzie po

wyższym J'dost xdx — wst x nic nam nie dowodzi, czyli dost x dx jest różniczką wst x, czyli też jest różniczką tejże wst x, połączonej z jakąkolwiek ilością stałą. Aby więc wyrażenie powyższe uczynić ogólnem, należy pisać:

/

dost xdx— wst x-\- C, gdzie C wyraża ilość stałą dowolną. Postępowanie

przywiedzione prowadzi do wypadków dxⁿ=nx^{n l}dx, a przeto

C    .    — jl 1 l    dx

I nxⁿ~^ldx — xⁿ -f- C; d yjx — dx² = — x ~ ² dx =-—, zkąd

J    *    2\/ x

dx —    dx

—z —\f x -j- C; d. log x — M. —, przeto 2\/x

fi

x

" V

r dz

i

log x -f- C;

d.a^x=a^xlo£ adx.

więc J'a°°l

log adx^=-a^x -f- C; i t. d. Ilość stała dowolna,

którą napotykamy we wszystkich tych wyrażeniach, znika w integralny oh oznaczonych. Integralnemi oznaczonemi nazywamy takie, w których przyjmujemy, że zmienna wzrasta od pewnej granicy a do innej granicy b; takie in-

b

fb

tegralne wyrażamy: I ^ Xdx, gdzie X wyraża jakąkolwiek funkcyję x. Tutaj nastręczają się uwagi: 1) że spółczynniki stałe znajdujące się pod znakiem J*_f jako też znajdujące się pod znakiem d, można zawsze postawić przed

temiż znakami, to jest: J'aXdx=:a J'Xdx; 2) ze znaki J' i d znoszą się

wzajemnie, to jest że wyrażenia d J'Xdx i J'dX znaezą tyleż co Xdx i X.

Funkcyje wszelkiego rodzaju mogą być różniczkowane, lecz nie można tego powiedzieu o integrowaniu. Umiemy dotąd integrować w ogólności tylko funkcyje algebraiczne racyjonalne; w innych zaś przypadkach uciekać się musimy do różnych sztucznych metod rachunku. Jedna z metod tego rodzaju najczęściej używana, jest tak zwane integrowanie cząstkowe, polegające na zasadzie d. uv — udo -j- rdu, zkąd wypada: udo = ciur — odu a przeto

Judr — J'dur—J*vdu — uv— Jodu; wzoru tego używają wtedy, kiedy

integrowanie rdu łatwiej da się wykonać niż integrowanie udo. Jeżeli do danych funkcyj nie można zastosować żadnego sposobu, w takim razie uciekają się do rozwijania ich w szeregi schodzące się, których wyrazy integrują. Z trudności napotykanych przy integrowaniu funkcyj z jedną tylko zmienna, sądzić można o trudnościach, jakie przedstawia integrowanie funkcyj o większej liczbie zmiennych niezależnych, a szczególniej integrowanie równań różniczkowych. Częstokroć potrzeba jest znaleść funkcyją z wiadomej różniczki ja-