009 bmp

Własności rozkładu normalnego błędów:

-    wystąpienie błędu dodatniego i ujemnego jest tak samo prawdopodobne,

-    ze wzrostem wartości błędu prawdopodobieństwo jego wystąpienia maleje,

-    im mniejsza jest wartość ct, tym większa dokładność pomiaru,

-    zakres wartości błędów praktycznie ograniczony jest do przedziału (+3a, -3a), prawdopodobieństwo wystąpienia wyniku poza tym przedziałem wynosi 0,0027.

Na podstawie rc-krotnie wykonywanych z jednakową dokładnością pomiarów tej samej wartości wielkości mierzonej oszacowaniem nieznanej wartości rzeczywistej X_n jest średnia arytmetyczna X, zaś oszacowaniem a jest średnie odchylenie kwadratowe serii pomiarów s. Oszacowania te są tym lepsze, im większa jest liczba n wykonywanych pomiarów. Wartość średniej arytmetycznej serii ^-pomiarów wyznacza się z zależności

_ ix_t

x = ^—    (1,24)

n

Wartość średniego odchylenia kwadratowego znajduje się ze związku

\i(x~xy

'-rrrr-    ('-²⁵>

Parametrem charakteryzującym rozrzut średniej arytmetycznej uzyskanej z danej serii pomiarów tej samej wartości wielkości mierzonej jest odchylenie średnie kwadratowe średniej arytmetycznej z danej serii dane zależnością

*r =4=    (1-26)

■yjn

W serii pomiarów tej samej wartości pewnej wielkości poprawiony wynik pomiaru przy uwzględnieniu jedynie błędów    przypadkowych stanowi średnia arytmetyczna X

(surowy wynik pomiaru), podana wraz z niepewnością e pomiaru tej średniej X ± e. Niepewność pomiaru oblicza się z zależności

e = t-s,    (1,27)

gdzie / jest liczbą, której wartość zależy od przyjętego prawdopodobieństwa P nieprzekraczalna określonego przedziału wartości błędów pomiaru.

W metrologii, jak wspomniano wcześniej, ogranicza się zakres występowania błędów do przedziału trzech sigm. Konsekwencją tego jest wprowadzenie błędów granicznych i e₂ wyznaczonych z zależności (1.27) przy t = (3);

e, = 3s,;    e₂=-3 s,    (1.28)

Dla dużej liczby pomiarów n > 30 parametry rozkładu wyznaczone w serii są bliskie parametrom rzeczywistego rozkładu normalnego, a możliwe błędy przypadkowe z prawdopodobieństwem P = 99,73% nie przekraczają błędów granicznych.

W praktyce metrologicznej wykonuje się z reguły mniejszą liczbę pomiarów w serii niż 30. Decyduje o tym niekiedy nadmierny koszt lub pracochłonność badań bądź też wydłużony czas ich trwania, co z reguły wywołuje zmianę warunków pomiaru.

Przy opracowywaniu małej liczby wyników pomiaru w serii n > 2 korzysta się z rozkładu Studenta, w którym jednym z parametrów jest liczba stopni swobody k = n-1. Przy « —> oo parametry rozkładu Studenta dążą do wartości uzyskanych z rozkładu normalnego. Przykładowo wyznaczone z rozkładu Studenta prawdopodobieństwo zawarcia błędów pomiaru w przedziale (~3s_r, 3s_r) wynosi przy dwóch pomiarach (k= 1) - 79,5%, przy dziesięciu (k = 9) - 98,5%, przy trzydziestu jeden (k = 30) - 99,46%. Błąd graniczny pojedynczego pomiaru w serii wyznacza się w taki sam sposób jak błąd graniczny średniej arytmetycznej, stosując w' zależnościach (1.28) w miejsce s_r odchylenie średnie kwadratowe s obliczone ze związku (1.25).

Opracowując wyniki pomiarów pośrednich wielkości y określonej zależnością (1.14),

średnią arytmetyczną serii pomiarów wyznacza się ze związku

(1.29)

natomiast odchylenie średnie kwadratowe pomiaru pośredniego wielkości y wyraża zależność

(1.30)

Ilustracją rozważań dotyczących błędów przypadkowych będą rozwiązane niżej przykłady.

Przykład 1

W celu wyznaczenia wartości siły elektromotorycznej źródła napięcia dokonano dziesięciu pomiarów woltomierzem.

W układzie jak na rysunku 1.1 dobrano woltomierz o rezystancji R_v znacznie większej od rezystancji wewnętrznej R_w źródła napięcia, dzięki czemu można było zaniedbać błąd systematyczny w stosunku do błędu przypadkowego.

Uzyskano następujące wyniki pomiarów napięcia V w woltach

Wartość średnia arytmetyczna serii n = 10 pomiarów (surowy wynik)

19