0143

ROZDZIAŁ X

ZASTOSOWANIA RACHUNKU CAŁKOWEGO DO GEOMETRII, MECHANIKI I FIZYKI

§ 1. Długość krzywej

329. Obliczanie długości krzywej. Niech będzie dana na płaszczyźnie krzywa ciągła zwyczajna ^ AB za pomocą równań parametrycznych

(1)    y = v(0    (to<l<T).

W pierwszym tomie [247] zdefiniowaliśmy pojęcie długości krzywej jako kres górny S długości p łamanych wpisanych w tę krzywą:

(2)    S = sup {p}.

Przy założeniu, że funkcje (I) mają ciągłe pierwsze pochodne, udowodniliśmy [248]. że krzywa jest prostowalna, tzn. że jej długość jest skończona. Ponadto stwierdziliśmy, że jeśli rozpatrywać łuk zmienny ~ AM, gdzie M jest dowolnym punktem krzywej, odpowiadającym wartości t parametru, to długość tego łuku

-M=s = s (r)

jest funkcją różniczkowalną zmiennej t, a pochodna tej funkcji wyraża się wzorem

s'(0 - /[iW+TvW

lub krócej

(3)    s' = i/x'*+y'²

[248 (10)] i oczywiście jest również ciągła.

Mając do dyspozycji pojęcie całki, możemy teraz przejść do obliczenia długości s krzywej ^ AB. W myśl podstawowego wzoru rachunku całkowego otrzymujemy od razu

T

s(T)—s(t₀) — f s'dt

10 Rachunek różniczkowy