0221

223

§ 1. Wstęp

3)    Na wzór szeregu (4) jest utworzony szereg

CO    .    .    00

^In (l + I-J = ^ [ln («+l)—ln n],

a-l    a-l

w widoczny sposób rozbieżny, bo ln (n+1) -*■+ ».

4)    Kierując się tą samą ideą, tworzymy szeregi (a oznacza dowolną liczbę różną od —1, —2, —3,...):

zLj (a+») (a+n+1)    [a+n    a+n+lj a + 1 *

1_1 =

I (a+n+2) J

<» _r ■Eł-

y_»_

zZj (a+«)(a+n+l)(a+n+2)

(a+«) (a+n+1)    (<x+n+l)(a+

1

2 (a+1) (a+2)

i ogólnie, dla dowolnego całkowitego p > 1,

CO

V*    1

Z_i (a+n) (a + n+1) ...(a + n+p) p (a + 1) (a + 2) ... (a+p)

a—1

5) Analogicznie postępujemy z szeregiem

co    oo .    .

Sx²-¹ _ y / i___i_\

1—a²"    Zj\l-a²"-‘    1—JC²" / ’

a-l    a-l

gdzie x jest dowolną ustaloną liczbą różną od ±1. Ponieważ n-ta suma częściowa jest równa

_1___1_

1-a    1-a²"’

X    1

1—a

6) Łatwo jest stwierdzić rozbieżność szeregu

1-a

przeto dla |a| < 1 szereg jest zbieżny do sumy --, a dla |a| > 1 do sumy

g^f-^,+jk⁺w⁺-⁺iir⁺-

Rzeczywiście, ponieważ jego wyrazy maleją, sumy częściowe spełniają nierówność

l+-j= +

+ ~j=r>n- -p-= \'n y n    yn

i rosną do nieskończoności wraz z n.

7) Wreszcie, mniej trywialny przykład dostarczy nam znane już [37] rozwinięcie liczby e

e=ł+^r + ^r+- + -V+-=l+y ¹

n!    Z—i

11 2!

n!

Przypomniawszy sobie przybliżone obliczenie liczby e w ustępie 37 czytelnik może na tym przykładzie ocenić korzyść, jaką daje kolejne wprowadzanie coraz to dokładniejszych przybliżonych wartości e otrzymywanych jako sumy częściowe tego szeregu.