029

Prfklad 12

Vvpoćt6te (l + cos ^rt + isin j::)¹².

Reśeni

Uźitim vztahu

1 + cos a — 2 cos² sin a = 2 sin cos

dostavarne

1 + cos \k = 2 cos² |ti, sin = 2 sin cos |tc,

a tedy

1 -t- cos + i sin    = 2 cos |tc (cos + i sin |ti) .

Umocnenim pak dostaneme

(l + cos + i sin jtt)¹² = [2 cos (cos |r. + i sin £ti)] ¹² =

- 2¹² cos¹² |k (cos + isin -^t:) =

= 2¹² cos¹² (cos |it + isin |ti) .

Vidite odtud, jaka je absolutni hodnota cisla (l + cos + isin f-ir)¹

1 + cos a

Je rovna ćislu 2^l2cos¹² |jt. Uźitim vztahu |cos |«| = muźeme yyjadrit ve tvaru 8 (l + \/2)^f’. Udelejte to.

Moivreovy v£ty se ćasto pouźiva i k yyjadreni funkci sinfcx, coskx, kde k je pfirozene cislo, pomoci funkci sinⁿx, cos” x, n € N. Ukaźme si to na prikladu.

Pfiklad 13

Uźitim Moivreovy vety yyjadrete sin4x a cos4x pomoci mocnin sinx a cosx.

Reśeni

Podle Moivreovy vǤty je

(cos x + i sin x)⁴ - cos 4x + i sin 4x,

podle binomicke vety je

(cos x + i sin x)⁴ = cos⁴ x + 4 i cos³ x sin x — 6 cos² x sin² x —

— 4i cos x sin³ x + sin⁴ x.

Porovnanim realnych ćasti pravych stran obou rovnostl dostaneme cos 4x = cos⁴ x — 6 cos² x sin² x + sin⁴ x a porovnamm ćasti imaginamich

sin 4x — 4 cos³ x sin x - 4 cos x sin³ x.

Poznamenejmo na zaver (a pro uplnost), że vzorec

(cos p> + i sin <p)ⁿ = cos mp + i sin mp

plat.i nejen pro prirozena ćisla n, ale i pro vśechna ćisla cela. Je-li totiż n cele zaporne, piat.i

/ 1 \ ⁿ

(cos ip + i sin <p)ⁿ =    -—-    =

ycosi/? + ismip J

1

(cos <p + isin^)^-11 ’ a protoże —n je prirozene, dostavame podle Moivreovy vety 1 1

7-TT-7— =-t-r———7-r = cos rup +1 sin np>\

(cosy> + ism^)~ⁿ cos (—rup) + isin (-n<p)

yzhledem k tomu, że i pro n — 0 plati

(cos <p + i sin <p)° = 1 = cos 0 + i sin 0,

muźeme vyslovit vetu:

Pro każde cele ćislo n a libovolne realne ćislo p plati

(cos <p + i sin p)ⁿ = cos mp + i sin rup.

■ .

57