065

2.12 a) v2 (cos |ti + i sin ^it); b) cos -f i sin y-it; c) \/2 (cos 4- i sin git); d) cos 4- i sin    2.14 a) Absolutni hodnota je rovna jedne, argument

je -4n(n-|-l)^; b) absolutni hodnota je rovna jedne, argument je

2^W — 1 2ⁿ“¹

2.15 a) cos    + i sin ^7:; b) cos 4- i sin <p.    2.17 a) i; b) —|\/3 — | i;

c) -2⁵⁰i; d) -£ + |i\/3. 2.18 a) 2⁷ (-1 + i\/3); b) i; c) —129 2³³i; d) 3⁶. 2.19 sin 2x = 2 sin a? cos x, cos2x = cos² x — sin² x, sin 3x = 3 sin a: — 4 sin³ x>

cos 3x = 4 cos³ x - 3cos x. 2.20 a) -i; b) — |\/3 4- |i; c) 2^-8 (— 5    ^ i 75 );

d) -i.

Clohy k opakovan£

2.26 a) Osa use£ky s koncovymi body 0, —2i; b) bod ^ — li; c) polorovi-na s vnitfmm bodem i, jejiz hranici je osa usecky s koncovymi body —1, i; d) vnit?ek poloroviny s vnitfnim bodem 1, jejiź hranici je osa usecky s konco-vymi body 1, —i.    2.27 a) \V2 (cos ^7t + i sin ^Tt); b) 10 (cos ^ u 4-i sin

c) cos -ł- i sin 1*; d) cos |n 4- i sin §71.    2.28 a) 2²⁰ (—| — ^i\/3); b) —32i;

c) —    d) —2³⁰.    2.30 sin 5x = 16 sin x cos"⁴ x

cos5x = 16 cos⁵ x — 20 cos³ x 4- 5cosx. 2.31 a) —i; b)

12 sin x cos² x + sin x; cos 4 + i sin 4

i⁴ 1

, navod:

sini— i cos 1 = cos (^ti — l) — i sin (|rc — l) = cos (l — ^it) 4- i sin (l — ^tc); c) 2 cos na. 2.32 a) cos¹¹ 4-i sin(76 — 72) 4-^ i (76 4-72); b) cos j|ti 4- i sin y§7C = — 5 (76 4- 72) — ^i (76 — 72); c) cos 4- i sin = = \ (76 - 72) 4- \ i (76 4- 72); d) cos f§7i 4- i sin f§ 71 = \ (7§4- 72) -- ^ i (\/6 — 72).    2.33 a) cos (a — ,#) 4- i sin (a — /3); b) cos (a 4-/?) 4-

4- i sin (a	+ /3);	c)	cos (—na) 4- i sin (—na);	d)	cos 2na	4-	i sin 2na.
2.34 a)	v = -5“;	b)	V = -f*; c) V = d) <? =	nr 8	2.35	^a)	z = -40;

b) —16 4- 12i.    2.39 2|z|².    2.40 D je obrazem fisia 2 (2 4- 72) 4- 2i>/2, C je

obrazem ćisla 2y/2 4- 2 i 72.

3 fteśeni rovnic v oboru komplexnfch fisel

3.1 a)

*1,2 =

3**73

d) x_ił2 =

7±i7ń

3.2

b)

^a)

-1 ±\V7

*1,2 = ---;

4

— 1 ± i 75

c) *1,2 *3,4 =

-1 ±i75

1 ±iV39 _{o o x} „

b) *1,2 -    4    * ^a' ^roP>—i_ap^Q dva realne kofeny,

pro p=— 3 dvojnasobny realny kofen, pro p<_k ^va i_maginarm sdruźe-ne kofeny, pro p — 0 linearni rovnice; b) pro p zfi —3 dva realne kofeny, pro p=- 3 linearni rovnice; c) dva realne kofeny pro p e (-oo, -5) U (5, 4-oc), dva imaginarni kofeny pro p E (—5,5), dvojnasobny realny kofen pro p = db5: d) dva realne kofeny pro p ę (—oo,0) U (0, ^), d\ra imaginarni kofeny pro pG (J,+oo), pro p=\ dvojnasobny realny kofen, pro p = 0 linearni rovnice. 3.4 a) [*- i(-l+iV5)] • [*_ i(-l-iv/3)]; b) [x-i(l + iV3)] .

[x-i(l-i>/3)]; c) (3»+l-iVS)-[*-ł(-l-*^)]; ^d) j*-ł(8 + iVTT)].

_r ,    __ijt4-2/cTi . . i 7t -h 2kx

• [x-|(3-ivTf)J.    3.6 a) xjt = cos ————■ + isin---, k = 0,1,2;

b)

(Tc -f- 2/cic    tc 4- 2 kr. \    _    .    ^ / 2/ctc

cos----fi sin-—-—V k = 0,1,..., 5; c) x_fc = 2^cos —4-

2k.K\ ,    „    |ic-f 2fcic    §n + 2fcic

4- i sin J , k = 0,1,..., 5; d) Xk = cos ² 2 kz

4- i sin

, k = 0,1,2.

. 2/ctc    „    , v    2/ct:    . . 2/ctc

3.7 a) x_k = cos —--hi sin-, fc = 0,1,2,3; b) x_k = cos — + i sin —-,

44    00

k = 0,1,. • •, 7; c) = cos —    4- i sin —-^-7-» /: = 0,1,2,3; d) x* =

4    4

tc + 2/ctc . .    tc -b 2/ctc    ₀₀    .    _5/;r /    iii -h    2/ctc

= cos--—    + isin--—,    k = o, 1,..., 7. 3.8 a)    x_fc = V2 ( cos    -—---h

80    \    o

2

^tc 4- 2/ctc

, ......\    . _ / fu 4-2/ctc    fit + 2fcic\

+ isin ^— - ), k = 0,1,2, 3, 4; b) x_k = \/2 (cos---4-isin ±— -J,

/ Irc 4- 2JtTC    ?7C + 2fc*\

k = 0,1,2,3,4; c) x_k = V2 (cos -—---h isin -— -J, fc = 0,1,2; d) x_k =

= v^^cos———- 4-isin —    , fc = 0,1,2.    3.9 a) *1,2 = li i;

b) xi,2 = ±i; c) xi,2 = l±i\/3; d) xi,2 = -1 ± *•    ^a) xi=-4 + 2i,

X2 = 1 - 2i; b) xi = 2-3i, x₂ = 3i; c) xi = 1 4-2i, x₂ = — 3 4- i; d)    x\ = \\/2 4- ^i\/2,    X2 = -f\/2 - ^i\/2.    3.12 a)    xi =    X2 = -i;

b)    xi,2 = ±2i.    3.13 a) xi=14-i, y_{    = 1 —    i;    #2 = — 5 +    3    i>    yi =    — 2 — 2i;

b)    xi = -1 4- |i>/2,    T/i = 1 4. 1 i\/2; X2 = “1 - \ i>/2,    J/2 = 1    - 5 iV2.

3.14 a) xi,2 = ±64; b)    «i,2 = ±|i\/3.    3.15    a)    p = 8 + 6i.

Ulohy k opakovani

3.16 a) 3 ^cos

2/ctc . . 2/ctc \

--h 1 sin--

3    3 J

TC -h 2/c^    . X 4- 2/ctc \    n . ^

a 21 cos---+ 1 sin--- 1, /c = 0,1, 2;

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