030

Ulohy

2.16    Dokaźte Moivreovu vetu matematickou indukci.

2.17    Vypoćtćte:

a)    (cos jit + i sin |k)^j°

b)    (cos + isin |n)³¹

c)    (2[cos(-±7i) + isin(-i7t)]J

d)    (cos -f isin |7ij

2.18    Vypoćtete:

a) (^-i)⁸    b) (^4)²⁵

c) (—1 + i)⁶⁶ - i(l + i)⁸⁰ d) (l + cos + isin |x)¹²

2.19    Uźitim Moivreovy vćty yyjadrete sin2x, cos2a;, sin3x, cos3x pomoci mocnin sina: a cos a:.

2.20    Yypoćtcto:

a) (cos + i sin jtc) °°    b) (cos + i sin |ti) ³¹

0 (Cś-i)-⁸    d) (l±i)-²⁵

2.5 Komplexm ćisla jako yektory v Gaussove rovine

Komplexni ćisla jsme dosud znazorńovali jako body Gaussovy roviny; ukaźeme si nyni, źo je v teto rovine mużeme znazornit i jako yektory.

Jak je vam znamo, pro soućet. vektoru u — (a, b), v = (c,d) a soućin realneho ćisla k s vektorem u - (o, b) plati

u + v = (a, b) + (c, d) = (a + c. b + d), ku = k(a,b) = (ka.kb).

Protoże vśak i komplexni ćisla jsou (podobne jako tyto yektory u, v) usporadane dvojice, jejichź sćitani a nasobeni realnymi ćisly ma tyteż ylastnosti, mużeme komplexni ćisla povażovat za yektory. V Gausso-vć rovine je znazornime nasledovne (viz obr. 2.8): liboyolnemu kom-plexnimu ćislu z pfiradime vektor u = OZ, kde O je poćatek a Z obraz komplexniho ćisla z; vzhledem k tomu, ze take obracene ke każdemu vektoru u lze pfifad.it komplexni ćislo z (je to ćislo, jehoż obrazem je konco-vy bod vektoru u = OZ), je toto pfifazeni komplexnich ćisel z a yektoru OZ v Gausso-ve rovine yzajemnć jednoznaćne. Vsimneme si take, że velikost yektoru OZ, jemuż odpo-vida komplcxni ćislo z, je rovna absolutni hodnote tohoto ćisla, tj. |OZ| = |z|.

Komplexni ćisla tedy mużeme graficky sćitat. a nasobit realnym ćislem tak, że je zobrazime v Gaussove rovine jako yektory. s nimiż pak pracujeme podle pravidel, ktera nam jsou o yektorech znania. Pro jednoduchost pfitom koncovy bod yektoru u = OZ, ktery pfislusi komplexnimu ćislu z, oznaćime ćasto pfimo jako ćislo z (a nikoli jako bod Z). Konkretni ukazku pfinaśi nasledujici pfiklad.

Pfiklad 14

V Gaussove rovinć urćete graficky, tj. bez yypoćtu, komplexni ćisla (3 + 2i) + (-1 + 3i), (3 + 2i) - (-1 + 3i), 2(3 + 2i), -|(3 + 2i).

Reśem

Urćeni soućtu, rozdilu a nasobku realnym ćislem danych ćisel je patr-ne z obrazku 2.9a, 2.9b, 2.9c. Uvćdomte si jen, że soućin kz realneho ćisla k 0 a komplexniho ćisla z je obrazem ćisla z ve stejnolehlosti se stfedem v poćatku a koeficientem k. V nasem pfipadć je tedy bod 2(3 + 2 i) obrazem bodu 3 4- 2 i ve stejnolehlosti se stfedem v poćatku a koeficientem 2 a bod -i(3 + 2i) je obrazem bodu 3 + 2 i ve stejnolehlosti s tymż stfedem, ale s koeficientem rovnym -

J

59