0397

§3. Zastosowania

399

a więc ostatecznie

n- 1

Do tego ciekawego wyniku Eulera powrócimy jeszcze raz. 8) Obliczyć całkę

1

JM ^x±*L_dx.

Jeśli skorzystamy z szeregu logarytmicznego {405 (17)], to otrzymamy dla funkcji podcałkowej rozwinięcie

i-4-JH-4-*²-... +(-d"-¹—*"-■+....

2    3    n

które jest słuszne w całym przedziale <0, 1 >. Całkując wyraz za wyrazem otrzymujemy

co

- +(-d-‘-v+... = y (—i)-¹—y

2²    3²    n¹    Z—t    n¹

o- i

Przed chwilą wyprowadziliśmy równość (4). Wynika z niej, że

<30    CO    CD

y (—i)*-¹    y    i    : V    ¹    -w¹

Zj w²    Zj    h²    Zj    (2/i)²    12

(2n)²

n-1    łta 1    1

Tak więc otrzymaliśmy „skończone” wyrażenie dla tej całki: / =Z- *².

9) Przypuśćmy, że mamy obliczyć całkę (|o| < 1)

TE

f In (1 -I-o cos x) _dx J cos x

(Dla x — przyporządkujemy wyrażeniu podcałkowemu wartość graniczną dla -v    tt równą a).

Korzystając z rozwinięcia logarytmu, otrzymujemy

In (1 +a cos a~) cos x

= “⁺L⁽-¹⁾"_W+.

Hm 1

cos"jr.

przy czym szereg jest zbieżny jednostajnie w przedziale <0, ir>. Zauważmy [312, (8)], że

n/2

J cos²"^-‘;rrfjr = 0, J cos²”.* dx = 2 J cos^2mjr dx =

(2m— I)!! (2 m)!!

Całkując wyraz za wyrazem, otrzymujemy

f In (ł+acosjr) _r f_j; y (2/n— 1)!! . a²^¹ ]

J cos x    | Zj (2m)!! 2m+l j"

W otrzymanym szeregu rozpoznajemy rozwinięcie funkcji arcus sinus [patrz 3)]. Tak więc ostatecznie otrzymujemy (w postaci skończonej!):