0399

§ 3. Zastosowania

401

12) Następujące zależne od x całki

Tt/2

2 r

Mx) = — I cos (.v sin 0) 7Z J

d8.

nu

/„(a) =---—- f cos (x sin 6) cos²’0 d8 (#i = I, 2, 3, ...) ,

(2«— 1)!! 7r J o

przedstawiają tak zwane funkcje Bessela [porównaj 393, 14)]. Rozwijając wyrażenie podcałkowe według potęg x sin 8 i całkując wyraz za wyrazem, łatwo otrzymujemy znane nam już rozwinięcia tych funkcji w szeregi według potęg x.

Całkując, na przykład, szereg

co, ₍,,in 9,

k 1

korzystając z wzoru [312, (8)]

®    i-

otrzymamy w przypadku funkcji Bessela ze wskaźnikiem zero

*=l

13) Spotkaliśmy się przedtem z tak zwanymi całkami eliptycznymi zupełnymi pierwszego i drugiego rodzaju [315 i inne]:

tr/2    */2

*(*) = f    E(k) = f /l-k² sin ²<pd<p.

o l/T^Flin²?    o

Postawmy sobie zadanie rozwinąć je według potęg parametru k (0<k< 1).

Przyjmując a* = —k²sin ę we wzorze (24) z 407 otrzymujemy

1

\f\-k¹ sin²ę>

1 +

£

n=> l

(2/i-ł)!!

(2/i)!!

Jt²** * sin²" <p .

Szereg ten jest zbieżny jednostajnie względem ę>, gdyż dla wszystkich <p jest zmajoryzowany przez szereg zbieżny

1 +

^ (2/7— I)!! .

Zj (2n)!!

a więc z twierdzenia 5 wynika, że możemy go całkować wyraz za wyrazem, co też uczynimy. Korzystając znów ze wzoru (6) otrzymamy tą drogą:

TT/2

*(A)= f .    ^df

o yl—k²sin²ę>

-t{'⁺

(2«— 1)!! (2n)U

]

2

k^2>

V

Analogicznie, korzystając ze wzoru (23) z 407, otrzymujemy

nu

E(k) — j ]/\—k² sin²ę>dtp = o

k²" ]

2/i-l J ^-

26 Rachunek różniczkowy