270 (11)

CJD

■ ■ ■

Określ liczbę rozwiązań równania 12*— 21 =    — w zależności od wartości n. Podaj wzór i sporządź wykres

•    | n + 1

■ _ n -t- 2U

funkcji ję( n ) wyrażającej liczbę pierwiastków równania I 2' — 2 I = ^fł2— — w zależności od wartości n.

n -+• 1

Komentarz

Wykonamy wykres funkcji / (r) = 12' — 2 |, przekształcając kolejno wykresy funkcji:

2°/_ł(*)=/.(*)-2 = 2*-2

3°/(-v) = |/₂(.v)| = |2*-2|

Oznaczymy — przez t. n + 1

Liczba rozwiązań równania 12* — 21 = / jest równa liczbie punktów wspólnych krzywej o równaniu y = 12 ‘ — 2 j i prostej y = t i zależy od wartości t.

Równanie 12* — 21 = r nie ma rozwiązań dla / < O. Wyznaczymy wartości n, dla których równanie

2*- 21 =

n + 1

me ma rozwiązań.

Równanie |2* — 2j = / ma jedno rozwiązanie dla t = O lub t > 2. Wyznaczymy wartości n, dla których równanie 12* — 21 =    ^ ma jedno rozwią-

n + 1

Równanie 12* — 21 = / ma dwa rozwiązania dla O < t < 2. Wyznaczymy wartości n, dla których równanie 12* — 21 =    ^ ma dwa rozwiązania.

Zapiszemy wzór funkcji g(/z):

0    dla n G ( — oo; —2)

1    dla n = —2 V n G    J

2    dla n G (-2; O) U -ł-oo\

g(n) = i narysujemy jej wykres.

Rozwiązanie

O

1

— 1

Y‘	5 y = 271 / / y—t>2
y = |2‘ - 21	4 / # 3 /J
	jT y*f, 0</<:2
	\/ y=/ = 0
-3 -2 .-1 ° y =	2 3 4 A — 1 y = /<0
---------	~2----

1 punkt wspólny

1 punkt wspólny 2 punkty wspólne 1 punkt wspólny

brak punktów wspólnych

n + 1

<0«n + 2<0»n< — 2 »n£ ( — co; — 2 )

t = O n + 2

= O

v

re'+ 1

n + 2 - 2(/i²+ l)

n~ + 1

— 2/r + /i

/i -ł- 1

" ^S (⁰:t)

0</<2»0<rA/<2«»M> — 2 A

Ane(-oo;0)u/j; + ooj»«e(-2;0)u^y, +ooj

Liczba rozwiązań równania

/' 2		i / *«(/«>
•	t-
-2	-i ° -i-	i i	2 3 4 '»

Formułujemy odpowiedź.

Równanie I 2 * — 2 1= —y—= ma dwa rozwiązania

I I n -t-1

^—2;0)u^-i-;-i-oo J. jedno rozwiązanie dla // = ""' lub »ie|(); ■i-j, nic ma rozwiązań dla «e(-cv;