0413

415

§ 3. Zastosowania

są zawarte jeden w drugim. W każdym z nich znajdziemy taki punkt x„, że odległość jego od punktu x jest równa połowie długości przedziału:

Jasne jest, że x, -*• x₀. gdy n -*■ oo.

Utwórzmy teraz stosunek przyrostów

00

f(x„)-f(xo) _y U_k(x,)-u_k(x₀)

x„—x₀    x_H-x₀

kmO

Dla k>rt liczba l/4"^fl jest całkowitą wielokrotnością okresu 1/4* funkcji u„(x), a więc u,(x_n) == u„(xo); odpowiednie wyrazy szeregu są równe O i mogą być odrzucone. Gdy natomiast k<n. to funkcja u_k(x), liniowa w przedziale d», jest liniowa także w zawartym w nim przedziale J„, przy czym

»*(*')-"t(x») _ _±,    (*. o,l.

x,—x₀

Tak więc otrzymujemy ostatecznie

/(»)—/(*o) _ y (±.|). x.-x₀

Inaczej mówiąc stosunek ten jest równy parzystej liczbie całkowitej dla nieparzystego n i nieparzystej liczbie całkowitej dla parzystego n. Widać stąd, że dla // -»■ oo stosunek przyrostów nie może dążyć do żadnej granicy skończonej, a więc funkcja nasza nie ma w x — x₀ pochodnej skończonej.

§ 4. Dodatkowe wiadomości o szeregach potęgowych

445. Działania na szeregach popowych. Ustęp ten poświęcimy przeglądowi znanych już w zasadzie działań na szeregach potęgowych. Posłuży to za punkt wyjścia do dalszych rozważań.

Rozpatrzmy dwa szeregi:

00

(1)    ^a_Bx" = a₀ + aj x + a₂x² + ... +a_nx"+ ...,

/i*0

(2)

00

xⁿ = bo + bi x + b₂ x² +

+ b„x"+ ...

Zakładając, że promienie zbieżności obydwu szeregów są różne od 0, oznaczmy przez r mniejszy z nich. Wtedy jak wiemy [364, 4°; 389], dla |x| < r szeregi te można dodawać, odejmować i mnożyć wyraz za wyrazem; wyniki grupujemy przy tym według potęg x;

(3)    Va„x"± Vń_nx" = V(a_n+ń_n)x",

n**0    rr=*Q    n*0

00 00 00

2>x". ^ b_n x" =    +    b_n-_{+a₂b_n-₂ + ... +a_n b_Q) x" .

n-O    n»0