042

Dalsi vlastnosti kofenu binomicke rovnice xⁿ — 1=0 je, źe pro vsechna k = 0,1,2,... ,n — 1 plati Xk — x,. Vysvetleni je opet. jed-noduche: Umocnenim komplexni jednotky

2k .. 2 n

x\ = cos--1-1 sin —

n    n

na A:-tou dostaneme koren

2kn . . 2kn Xk = cos--1-1 sin-

Tl    n

binomicke rovnice xⁿ - 1 = 0, tj. = Xk- Plati tedy (viz tez obr.3.4):

x₀ = x®, x\=x\, xi=x\, x₃ = I®,

x_n-i = x”^_1, x* = x₀ = 1, x”⁺¹=:r₁, ...

O korenech binomicke rovnice xⁿ — 1 = 0 rnuźeme tedy rici, źe to jsou prave tato Ćisla:

. . ^71    o Q    n —1    n i

x\ = cos--l-isin — , xf, ..., x\ , x? = 1

n    n

Rovnice xⁿ — 1 = 0 ma velky vyznam pro studium pravidelnych n-uhelniku; s nekolika ukazkami se muźete seznamit v pośledni ka-pitole.

Priklad 6

V mnoźine C reśte rovnici x⁶ - 1 = 0. Reseni

Koreny toto rovnice jsou ćisla

k = 0,1,2,3,4,5,

2kn . . 2kn Xk = cos    + i sin —- ,

6 6

tj. ćisla

X0 = 1,
2k	2k	1 . v/3
Xi = cos —-	+ i sin —	— — -h 1 —
6	6	2 2
4lt	. . 4n:	1 , . V3
x2 = cos — 0	^+mnT	-“2^+1T
6::	. . 6n
^x3 = cos —	^+ls,n¥	= -1,
8n	. . 8tc	1 . v/3
Xą - COS — 6	+^1 sm — 0	“ ^-2 ^_1T

10*    . IOtc 1    . \/3

x₅ = cos—+ism—=    — — i — .

Obrazy tćchto ćisel v Gaussove rovinć jsou ve vrcholech pravidelneho śestiuhelniku na obr. 3.5.

Pro nektera prirozena ćisla n lze binomickou rovnici xⁿ - a = 0 reśit i jinym zpusobem, neż jsme ji resili dosud. Tak napr. rovnici x⁶ — 1 = 0. kterou jsme prave v prikladu 6 vyreSili. mużeme re§it rozkładem leve strany na soućin takto:

x⁶ -1 = (x³ - l) (x³ + 1) = (x - 1) (x² + x + l) (x + 1) (x² - x + l) Jejim reśenim jsou tedy koreny rovnic

x — 1 = 0,    x+l=0, x² + z + 1 = 0, x² - x + 1 = 0,

83