048

SHRNUTI III

Binomicka rovnice

:rⁿ - a = 0, a 6 C, n G N, n> 1

Jeji koreny pro a = |o|(cosa 4- i sin a) jsou ćisla:

( a + 2 kit

4-1 sin

a 4- 2£x\    ,

--J, fc = 0,1,2,

Jejich obrazy leżi pro n > 2 ve vrcholech pravidelneho n-uhelmku vepsaneho do krużnicc sc stfedcm v podatku a s polomerem >/fa[.

Koreny binomickć rovnice xⁿ — 1 — 0 jsou komplexni jednotky:

2 ku . . 2Attc    , „

a-fc = cos--h lsin-, A: = 0,1,2,.... n — 1

n    n

Jej ich obrazy leżi pro n > 2 ve vrcholech pravidelneho n-uhelniku vepsaneho do jednotkove kruźnice se stredem v poćatku; jeden vrchol je obrazem ćisla 1.

Kvadraticka rovnice ax² + bx + c — 0 s komplexm'mi koeficienty

Jeji koreny jsou ćisla

-6 ± \/\D\ (cos + i sin |a)

^xi,2 —-r-,

2a

kde a je argument komplexniho ćisla D — b² — 4ac pro D ^ 0 a libo-volne realne ćislo pro D — 0.

Jsou-li koeficienty a, b, c realne, prejde tento vzorec

pro DŹO na tvar pro D < 0 na tvar

Zl,2

*1,2

-b±s/D 2 a

-b±iy/^P 2 a

Kvadraticka rovnice s komplexnimi koeficienty ma pro D ± 0 dva ruzne komplexni koreny, pro D = 0 jediny komplexni kofen.

Kvadraticka rovnice s realnymi koeficienty ma pro D > 0 dva ruzne realne koreny, pro D < 0 dva ruzne sdrużene koreny imaginarnf a pro D — 0 jediny realny koren.

ULOHY K OPAKOVANI

3.16    V mnoźinS C feśte rovnice:

a) x⁶ - 19x³ - 216 = 0    b) x⁶ + I9x³ - 216 = 0

3.17    V mnozine C feśte algebraicky i goniometricky rovnici x⁵ - 1 = 0. Porovnanim vysledku urćete cos |n, sin |ji.

[Navod pro algebraicke reśeni:

x⁵ — 1 = (x — 1) (x⁴ + x³ + x² + x + l),

(x⁴ + x³ + x² + x + l) = (x² + \x + l)² - |x² =

= (x² + |x+1+x-^\/5)(x² + 5X + 1- x- |\/5) ]

3.18    V mnożine C reśte rovnice:

a) ix² + (3 - 2i)x -6 = 0 b) x² + 2(i - l)x + 3 + 2i = 0

3.19    V mnoźinś C feśte rovnici x⁴ - 2 + 2iv^3 = 0.

3.20    V mnozine C feśte rovnice:

a) x⁶ + 3 = 0    b) x⁴ = 2 + 2iv^3

fl - ii⁴⁸

cl x³ +--—--= 0

^J (l+i)⁴⁴+i(l-i)⁴⁶

95