045

Priklad 7

V mnożine C reśte rovnici ix² + 2x — 5 i = 0. Reśeni

Diskriminant dane rovnice je

D — 4 - 4i(—5i) = -16 - 16(costi + isinrc),

także

_ -2 ± yi6 (cos |t: + i sin ^rc) -2 ± 4i

#1,2 — -~- — -

2i    2i

odkud po uprave dostavame

x\ =2 + i, X2 = -2 + i.

Priklad 8

V mnożing C reśte rovnici (1 — i)x'² — (5 - \)x + 6 - 4i = 0.

Resem

Diskriminant teto rovnice je

D = (5 — i)² — 4(1 - i)(6 - 4i) = 16 + 30i;

prevedenim na goniometricky tvar D = 34    + i |£) zjistime, że pro

argument a ćisla D plati

cosq=^, sina=Ą|.

Odtud pak uźitim znamych vzoreu

,    , ,    /1 + cos a i.ii /1 - cos a

l^cos 2^a\ = V-9-- H 2<*\ = Y-2-

dostaneme

|cos ia| = cos |a =    |sin ±a| = sin \n =

Uvedomnnc-li si jeśte, źe y/\D\ = \/34, dostavame koreny dane rov-

mce
Zl,2 =	5-i± + '^\fh) 5 — i ± (5 -t- 3i) 2(1-i) 2(1-i)
a po uprav£	£i=2 + 3i, £2 = 1- i-
Priklad 9

V mnozine C reśte rovnici £⁴ + 2 i£² + 8 = 0.

Reśeni
Substitud y	= x^2 prevedeme danou rovnici na kvadratickou y^2 +2\y + & = 0,

jcjiz diskriminant je D = -36 = 36 (cos * + i sin tc), także jej! koreny jsou

-2 i ± \/36 (cos jTT + i sin ^Tt) -2i ± 6i Vi,2 =    2    2    ’

tj. dsla

yi = 2i, y-2 = -4i.

Dosazenim <io substitućmho vztahu dostaneme binomicke rovnice x² = 2i a x² = —4i

neboli rovnice

x² - 2 (cos + i sin jir) =0 a x² - 4 (cos §it + i sin §rc) = 0,

ktere umiine reśit. Pro koreny dane rovnice ćtvrteho stupne tak dostaneme:

£i = l + i, X2 = -1 — i, £3 = V2 (-1 + i), £4 = \Pl (1 — i)

89