046

>

Nasledujici priklad vyreśime tremi ruznymi zpusoby.

Priklad 10

V mnoźine C reśte rovnici x² — 1 — i = 0.

Restnt

a) Danou rovnici budeme resit jako kvadratickou. Pro jeji diskrimi-nant D dostaneme

D — 4 + 4i = 4\/2    ) ⁼ (^cos 7^K + ^is’ⁿ i^K)»

jeji koreny jsou tedy cisla

Xl,2

\J4\/2 (cos jjrc 4- i sin łn) ,_r ,    ,    .    . .

- ±--i-1-3.J. = ±^2 (cos |k + isin A*).

b) Danou rovnici budeme reśit jako binomickou. Vyjadrenim cisla 1 + i ve tvaru \[2 (cos + isin |tc) ji pfevedeme na rovnici

x² — V2 (cos £jt + i sin jiz) — 0,

odkud dostavame, ze koreny dane rovnice jsou cisla

Xk

_A/-( W + 2kn . .    + 2/cti\

= V2lcosⁱ— --h i sin -— -I, fc = 0,1,

tj. ćisla

x₀ = \/2 (cos i Tl + i sin |rc) , Xi = \Pl (cos |tt + i sin | ji) . Yzhledem k tomu, źe

cos grc = — cos |ti, sin |rc = — sin |rc,

je tento vysledek shodny s vysledkern, ktery jsme dostali v a).

c) Danou rovnici budeme fesit algebraicky, bez poużiti goniomet-rickych funkci. Polożime proto x = a + 6 i a urćime realna ćisla a, b tak, aby platilo (a + hi)² = 1 + i. Umocnenim a porovnanim realnych, resp. imaginarnich ćasti dostaneme soustavu rovnic

o² — 6² = 1,    2 ab - 1

s iieznamymi a, b. Protoże je jiste 6/0, yypoeitime z druhe rov-nice neznamou a a dosazenim a — — do rovnice prvni a snadnych upravach dostaneme kvadratickou rovnici pro b²

46⁴ + 46² - 1 = 0,

ze ktere yypoćitame

-4 ±472    -1±75

' 'i,2    g    2

Vzhledom k tomu, że ćislo 6 je realne, nemuże byt b² < 0, coż znamena, że vyhovuje pouze

6² =

-1 + 72 2

odkud dostaneme

&1,2 = ±

-1 + 75

Dosazenim do vztahu a = — dostavarne po upravach 2 b

J_ -    72    _ J_ _    72

~ 26i    27-1 + 72 ’ ^{a2 2fe}2 27-1 + 72

91