041

Priklad 5

V iimoźinć C reśte rovnici .x³ + 27 — 0.

Reśeni

Yyjadrime-li v rovnici x³ - (-27) = 0 Cisło -27 v goniometrickem tvaru, dostaneine rovnici

x³ — 27(cosk + isinrc) = 0,

jejlż koreny jsou ćisla

/    7c + 2fc7i . . 7t + 2fcrc\    ,    , .

z*, = 31 cos— --hi sin—-—1, k = 0,1,2

tj. ćisla

_n ( rc . . n\

Xo = 3 I cos - +1 sin - 1

3n . . 3n\ ⁱT+,_s,„_Tj

ve vrcholech rovnostrannćho

x\ = 3 cos

X2

„ ( 5it . . 5n\

⁼3("^sT^+ls,"yJ

Jejich obrazy v Gaussove rovine leżi trojuhelniku (viz obr. 3.3).

Duleżity je zylaśtni pripad binomicke rovnice xⁿ - a = 0 pro a = 1. Cisło 1 md argument, a = 0 a jeho absolutni hodnota je rovna jedne. Dosazenim do obecneho vzorce pro koreny binomickć rovnice dostaneme

2kK . . 2A;7t    ,    „ , „

.r-k = cos — + isin , k - 0.1,2,.. .,n - 1.

Tato ćisla jsou komplexni jednotky a jejich obrazy v Gaussove rovinć leżipro n > 2 ve vrcholech pravidelneho n-uhelniku vepsaneho do jed-notkove kruźnice se stredem v poćatku (viz obr. 3.4); jeden z vrcholu pritom leżi v bodę 1 na realne ose (jde o obraz korene x₀ = 1)-

Koreny binomicke rovnice xⁿ — 1 = 0 inaji duleżitou vlastnost: soućin libovolnych dvou korenu je općt koren teto rovnice. Duvod je

2kn

zrcimv: Nasobime-li komplexni jednotku cos — + i sin —— kom-o    o    n    n

,    , . ,    ,    2m7i . . 2mit    .    .

plexni lednotkou cos--(-1 sin- (obe jsou koreny rovnice

n    n

.    , _v.    2(fc + m)n . . 2(k + m)x

xⁿ — 1 = 0), je jejich soucm cos--h isin-- rov-

neż korenem teto rovnice.

81