0567

0567



569


§ 1. Teoria elementarna

Całka z prawej strony zależy od parametru k. Czeka nas dowód tego, że przy k -* 0 można przejść do granicy pod znakiem całki. Będzie stąd wynikało istnienie pochodnej

/'<*,) - lim l|łttHW

A-o    k

i od razu otrzymamy potrzebną nam równość

dx —


k->0 ' b


/'<*) = lim f /<*•*+*>-/<*•»>

k->O J    K

(12)


W tym celu napiszmy najpierw, posługując się wzorem Lagrange’a,

f(x,y0+k)-f(x,y0)


= fy{x, y0 + Bk)    (O<0< 1).


Korzystając z jednostajnej ciągłości funkcji fy(x, y) możemy dla dowolnego e > 0 znaleźć takie 8 > 0, że dla

|x"-x'| < 8 i \y"-y'\ < 8

spełniona jest nierówność

Przyjmijmy tutaj x' — x" = x,y’ = y0, y" = y0 + dk i weźmy |fc| < 8. Korzystając z równości (12) możemy teraz powiedzieć, że dla wszystkich x jest

< e.

Widać stąd, że funkcja podcałkowa (12) dla k -» 0 dąży jednostajnie (względem x) do funkcji granicznej fy(x, y0). Tym samym z twierdzenia 1 wynika, że dopuszczalne jest przejście graniczne pod znakiem całki (11).

Jako przykład rozpatrzymy znowu całki, o których mówiliśmy w poprzednim ustępie. Oczywiście, dla y>0 jest

Dy f arctg—- / D, arctg *■ dx = - f    | In-^,

J y J    y    J x2+y2    2    1 +y2

oo    o

ii    i

Dy f In Cc2+ya) — f/>, ln (x2 +y2) dx — f —— dx = 2 arc tg—. J    J x2+y2    y

oo    o


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
195 § 3. Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego /(a) w pobliżu punktu a z prawej strony i wię
[Thermistor [To rm i stor jest elementem półprzewodnikowym, którego rezystancja zależy od temperatur
614 XIV. Całki zależne od parametru Pozostaje jeszcze do udowodnienia, że w całce z prawej strony wo
Slajd79 2 WIERCENIA RĘCZNE Efektywność wiercenia sposobem udarowym zależy od: -    Pa
( Prawidłowo zaprojektowany cyklon zależy od parametrów konstrukcyjnych i własności odpylanego
Laboratorium Podstawy Programowania Aby określić rozmiar poszczególnych typów (zależy od parametrów
22846 Wykład 6 (31) ODDZIAŁYWANIE ŚWIATŁA LASEROWEGO NA TKANKĘ ZALEŻY OD; PARAMETRÓW ŚWIATŁA LASERA
27386 skanuj0341 Wybór najbardziej odpowiedniego materiału zależy od parametrów i konstrukcji przekł
Bardzo dużo zależy od zachowania każdego z nas, niezależnie od tego, ile ma lat. Ty też możesz
Ławo zauważyć, że ramię r = r - r-i nie zależy od położenia punktu O. Stąd wynika wniosek, że moment

więcej podobnych podstron