0567

569

§ 1. Teoria elementarna

Całka z prawej strony zależy od parametru k. Czeka nas dowód tego, że przy k -* 0 można przejść do granicy pod znakiem całki. Będzie stąd wynikało istnienie pochodnej

/'<*,) - lim ^l|łttHW

A-o    k

i od razu otrzymamy potrzebną nam równość

dx —

k->0 ' b

/'<*) = lim f /<*•*+*>-/<*•»>

k->O J    K

(12)

W tym celu napiszmy najpierw, posługując się wzorem Lagrange’a,

f(x,y₀+k)-f(x,y₀)

= fy{x, y₀ + Bk)    (O<0< 1).

Korzystając z jednostajnej ciągłości funkcji f_y(x, y) możemy dla dowolnego e > 0 znaleźć takie 8 > 0, że dla

|x"-x'| < 8 i \y"-y'\ < 8

spełniona jest nierówność

Przyjmijmy tutaj x' — x" = x,y’ = y₀, y" = y₀ + dk i weźmy |fc| < 8. Korzystając z równości (12) możemy teraz powiedzieć, że dla wszystkich x jest

< e.

Widać stąd, że funkcja podcałkowa (12) dla k -» 0 dąży jednostajnie (względem x) do funkcji granicznej f_y(x, y₀). Tym samym z twierdzenia 1 wynika, że dopuszczalne jest przejście graniczne pod znakiem całki (11).

Jako przykład rozpatrzymy znowu całki, o których mówiliśmy w poprzednim ustępie. Oczywiście, dla y>0 jest

Dy f arctg—- / D, arctg *■ dx = - f    | In-^,

J y J    y    J x²+y²    2    1 +y²

oo    o

ii    i

D_y f In Cc²+y^a) — f/>, ln (x² +y²) dx — f —— dx = 2 arc tg—. J    J x²+y²    y

oo    o