569
§ 1. Teoria elementarna
Całka z prawej strony zależy od parametru k. Czeka nas dowód tego, że przy k -* 0 można przejść do granicy pod znakiem całki. Będzie stąd wynikało istnienie pochodnej
/'<*,) - lim l|łttHW
A-o k
i od razu otrzymamy potrzebną nam równość
dx —
k->0 ' b
/'<*) = lim f /<*•*+*>-/<*•»>
k->O J K
W tym celu napiszmy najpierw, posługując się wzorem Lagrange’a,
f(x,y0+k)-f(x,y0)
= fy{x, y0 + Bk) (O<0< 1).
Korzystając z jednostajnej ciągłości funkcji fy(x, y) możemy dla dowolnego e > 0 znaleźć takie 8 > 0, że dla
|x"-x'| < 8 i \y"-y'\ < 8
spełniona jest nierówność
Przyjmijmy tutaj x' — x" = x,y’ = y0, y" = y0 + dk i weźmy |fc| < 8. Korzystając z równości (12) możemy teraz powiedzieć, że dla wszystkich x jest
< e.
Widać stąd, że funkcja podcałkowa (12) dla k -» 0 dąży jednostajnie (względem x) do funkcji granicznej fy(x, y0). Tym samym z twierdzenia 1 wynika, że dopuszczalne jest przejście graniczne pod znakiem całki (11).
Jako przykład rozpatrzymy znowu całki, o których mówiliśmy w poprzednim ustępie. Oczywiście, dla y>0 jest
Dy f arctg—- / D, arctg *■ dx = - f | In-^,
J y J y J x2+y2 2 1 +y2
Dy f In Cc2+ya) — f/>, ln (x2 +y2) dx — f —— dx = 2 arc tg—. J J x2+y2 y