0579

581

§ 1. Teoria elementarna

Dla określenia stałej c znajdziemy granicę lewej strony przy k -*■() {k' -*■ 1). Granicą tą będzie oczywiście c. Obliczamy przede wszystkim łatwo, że

it/2    Jt/2

lim K = lim f ——=M=r — f d<p = — , *-0 a-o *    yi~k² sin²y j    ²

JT/2    */*

lim £' = lim f ^ 1 —/r'² sin^aę>z/g? = f cos ę dę — 1

»-o    *'-1 o    o

[twierdzenie 2, ustęp 506]. Jest zatem

«/2 - f ^dv -« .	1
jf ^1—tfc'^2sin^2ęp 2	-^'^2
n/a K\—KE r -^k sinły—
^J0 /l—śr^2sin^2cp	. 2

2/fc ’ ■k¹ ,

a więc

|K'(£-X)| < J-tc²* i lim K'(E-K)=0.

⁴    *-o

Szukana granica jest równa -y ir i ostatecznie otrzymujemy znaną zależność Legendre’a

EK'+E'K-KK'

13) Udowodnić tożsamość

*    ^r*-i    *

fd/_m.,J df.-2...JJ(_x-n-'f(t)dt,

«    «    «    a

gdzie /(r) jest dowolną funkcją ciągłą w przedziale <a, 6> i a<x<.b.

Rozwiązanie. Uciekniemy się do indukcji matematycznej. Dla n = 1 tożsamość jest oczywista. Założymy teraz, że jest ona prawdziwa dla pewnego »>1 i wykażemy, że pozostaje też prawdziwa przy zamianie n na n+1.

Dla skrócenia oznaczmy

Zróżniczkujemy względem x funkcję

X

J.+iW ⁼ “j-J (x—tYf(t)dt €

stosując twierdzenie 6. Ponieważ dolna granica jest tutaj stała, a dla t równego górnej granicy, tzn. dla t = x funkcja podcałkowa jest równa zeru, więc we wzorze (16) odpadają wyrazy nie zawierające całek i otrzymujemy

«*).

dl,+i(x)

dx