0563

565

§ 1. Teoria elementarna

jest spełniona od razu dla wszystkich x z Ponieważ funkcja / rośnie monotonicznie wraz z y, więc spełniona jest także nierówność

\<p(x)-f(x,y)\ < e,

jeżeli tylko y > y„_o; tym samym twierdzenie jest udowodnione.

Powyższe kryterium zbieżności jednostajnej wydaje się bardzo specjalne, jest ono jednak nieraz użyteczne i będziemy z niego korzystali.

505. Przestawienie dwóch przejść do granicy. Przez cały wykład w tym rozdziale przewijają się zagadnienia przestawiania dwóch przejść do granicy, przy różnego rodzaju przejściach granicznych. W najprostszej formie zagadnienie to wystąpiło już w ustępie 168, gdy badaliśmy istnienie i równość granic iterowanycb

(7)    lim lim/(x, y) = lim lim/(x, y),

x-*x₀ y-*y o    y-yo x-*x₀

zakładając przy tym, że istnieje granica podwójna

lim/(x, j).

X-*Xq

y-*o

Dalej, w ustępie 436 stwierdziliśmy, że twierdzenie o przejściu do granicy wyraz za wyrazem w szeregu funkcyjnym zbieżnym jednostajnie może być wyrażone w podobnej formie

lim lim /„(x) = lim lim f„(x).

x-a n-*oo    «-»x .x-*a

Równość ta była znaleziona przy założeniu, że dla n -* co funkcje f„(x) dążą jednostajnie do funkcji granicznej.

Posługując się pojęciem zbieżności jednostajnej, wprowadzonym w poprzednim ustępie, sformułujemy teraz ogólne twierdzenie tego typu. Założymy przy tym, że funkcja /(x, /)jest określona w dwuwymiarowym zbiorze 97£ = 9C x 9/i zbiory % = {x} i = {>’} mają punkty skupienia odpowiednio x₀ i y₀ (skończone lub nie).

Twierdzenie. Niech dla każdego xe9i istnieje zwykła granica

lim f(x,y) = <p(x) y-yo

i dla każdego yćjj zwykła granica

lim/(x, y) = v (y) .

X-*Xq

Jeżeli przy y -► y₀ funkcja f (x, y) dąży do funkcji granicznej <p (x) jednostajnie względem x w zbiorze SX, to istnieją i są równe obydwie granice iterowane (7).

Łatwo by było sprowadzić to twierdzenie do wspomnianego wyżej jego szczególnego przypadku, ale podamy tu dowód niezależny, przyjmując przy tym dla ustalenia uwagi, że obie liczby x₀ i y₀ są skończone.

Dla dowolnej liczby e > 0, można na mocy twierdzenia 1° z ustępu 504 znaleźć odpowiednią liczbę <5 > 0 taką, że dla każdego xeS£ nierówności (5) pociągają za sobą nie-