0661

§ 5. Całki Eulera

663

Sumując teraz względem v od v = O do v = n-1, dostajemy -i r

y ^,/(^J+ ■) +.C-. f lyy-

/■(«.+-j-)    0^JLl'“    ^J

Zestawmy tę równość z następującą:

r’(na)

i

„ r i-«"^a-+c -    —j—

J 1 — u o

clu .

r(na)

Mnożąc ostatnią równość przez n i odejmując od poprzedniej znajdziemy, że

V. ^r'(^a+^) nna) _    r\nu*~'    1 1,

2-    , v\    " nna) ⁿJli-W l-u\^du

_v=° r^a+ — J

= —n ln

1-u"

1—u

= —n In n.

Można to napisać w postaci

d

da

r_Mr(a₊±)...r(a₊^L)

ln---—-—--— = — n ln n.

r(na)

Całkując otrzymujemy stąd

ln

/■(«)/■(«+ -i-) ...rL+ i-i)

--k V_(M)^V-ⁿ-Ł- - ta.+tac(■).

czyli

C

n^m

^rto^r(‘⁺i)~^r{‘^+JLr-) _

P(na)

Dla wyznaczenia stałej C przyjmijmy tu a = 1/w. Oczywiście, C = nE, gdzie 1? jest iloczynem Eulera, który obliczyliśmy w ustępie 531, 6°. Podstawiając jego wartość w (17) dojdziemy do wzoru (26).

C) Przewidując, że trzeba będzie przejść do funkcji wykładniczej od razu bierzemy dowolną stałą w postaci ln C.