0679

681

§ 5. Całki Eulera

W najprostszym przypadku dla m — 0 przybiera on postać

ln r(a) - In l/SF+ (a- —^ lna-a+ —    (0 < 0 < 1).

\    2/    12a

Jeżeli we wzorze (41) odrzucimy resztę zawierającą jako czynnik 6 i przedłużymy przy tym sumę do szeregu nieskończonego, to otrzymamy tzw. szereg Stirlinga:

ln r(a) ~ ln ][Tk + (a--U lna-a+ ■ — - -pr •    + ...

\    2/    1-2 a 3-4 a³

1

• + ...

(2m—!)• 2m    a¹

Szereg ten jest rozbieżny. Istotnie, na mocy (40) wartość bezwzględna wyrazu ogólnego szeregu Stirlinga

... +(-!)"-*

B.

(2n—l) 2n

1

a

211-1

rr

(2//—2)! (27TO)¹*-¹

*2. -► 00,

gdy

n -*■ oo.

Mimo to jednak szereg ten jest bardzo przydatny do obliczania wartości przybliżonych funkcji ln r (a), gdyż jest on jej rozwinięciem asymptotycznym i jednocześnie oscyluje wokół niej.

Spotkaliśmy się już zarówno z wzorem, jak i szeregiem Stirlinga dla In (»!) [por. 469, (26) i (27)]. Otrzymane przed chwilą rozwinięcia są ogólniejsze. Gdybyśmy chcieli otrzymać z nich poprzednie wyniki, należałoby przyjąć u — n i ponadto dodać jeszcze ln />, ponieważ /’(») — (/>— 1)! a nie n!. Również w rozpatrywanym przypadku ogólnym można otrzymać rozwinięcie asymptotyczne dla samej funkcji r (a) podnosząc e do potęgi In r (a) [464, 3°; por. 469],

541. Obliczenie stałej Eulera. Wróćmy do wzoru (39) i zróżniczkujmy go względem a

D ln r (a) =» ln a--— +«>'(«),

2a

o

gdzie cu'(a) *• J xe‘^xf(x) dx. Powtarzając poprzednie rachunki dostaniemy

—oo

(42)    a>'(a)

_®i_. _1_ i Bi_ _m _1_

2 o¹ 4 a*

_(_!)-J=-

Im

+

+(-1)"^+,0^,^ł±!_._JL_ (0<6'<1).

2m+2    a^J*⁺¹

Stąd otrzymujemy rozwinięcie asymptotyczne

Dlnr(a)

In a+ J--

2o

Ś1

2

_1_

a*

+(-iy

Ł.

2n

Można je było otrzymać formalnie różniczkując szereg Stirlinga wyraz za wyrazem (*).

Korzystając z wzoru (42) można podać łatwy sposób obliczania stałej Eulera C. Przyjmując we wzorze Gaussa (25), że a jest liczbą naturalną k będziemy mieli

C - J    dl- D In r (k),

0

ale

1

¹    - l + f+ ...

(^J) Tak więc okazało się, że w tym przypadku dopuszczalne jest różniczkowanie wyraz za wyrazem rozwinięcia asymptotycznego [por. uwagę w ustępie 464],