0659

661

S 5. Całki Eulera

Najprościej jednak jest przyjąć za punkt wyjścia następujące rozważania. Jest

r(b)-B(a,b) = r(b)~

i’(a)r(6) r(b)b r(a + b)-r(a)

r(a+b)    r(a+b)

r(6+i)    r(o+6)-r(a)

r(a + b)    b

jeżeli przejdziemy tu do granicy przy b -* 0, to dostaniemy

= lim [r(6)-B (a, 6)].

* W b-0

Weźmy teraz wzory [patrz (6) i (4)]:

QO    co

f(b) = J ^’~¹e~^xdx, B(a, b) = J

irk-l

(1+X)^a+*

dx

Zatem

ZW.Hm    __L_"U

r(a) 5JJ L (i+*)‘⁺⁶J i przechodząc pod znakiem całki do granicy otrzymamy mór Cauchy'ego

(a) J L (l+x)^aJ x •

r

r(a)

(23)

Aby uzasadnić dopuszczalność takiego przejścia do granicy, zauważymy, że w otoczeniu punktu x = 0, b — 0 wyrażenie

-IV*- —L—l

x [    (l+x)«* J

jest funkcją ciągłą zmiennych x i b i x* < 1. Dla dostatecznie dużych wartości x i b < b₉ istnieje majoranta

Jeżeli w wyrażeniu dla B podstawimy x = e~*, otrzymamy

CO

B (a, b) = f e~‘“(l-e~')^b~ⁱdt

i będziemy mieli

r'(a)

r(a)

= lim J [e~^xx^b~^l—er^a*(l—e^-*)*^-1] dx.

&-+0