0677

679

§ 5. Całki Eulera

Dla znalezienia prostszej postaci wzoru (35) skorzystamy z otrzymanej całki oraz z elementarnej całki Froullaniego [495]

(37)

— Ina 2

»    O

j' ę-^x — ę-^mx    dX __ J

e"*-e*

dx

X

Odejmując mianowicie od równości (35) równość (36) i dodając (37) otrzymujemy

ln r(a)—R(a)+ -i- In a

f^m’ax x

J, J_1 e°^xdx x ⁺ 2} x

Wyprowadzimy oznaczenie (38)    w (a)

Podstawiając zamiast R (a) znane już nam wyrażenie (19) dla całki Raabego otrzymujemy (39)    ln/'(a) = ln |/2tT+(a—ln a—a+o) (a) .

W rozdziale XII [441,10] znaleźliśmy rozkład kotangensa hiperbolicznego na ułamki proste

CO

ctgh x=y

2x

x¹+k¹n¹

prawdziwy dla wszystkich wartości x#0. Pisząc tutąj x/2 zamiast x można rozkład ten przedstawić w postaci [por. 449]

_*_ + iL₌i₊V-—

e*— 1    2    Z_j x¹+4A¹7t¹

t-i

Stąd

m

—±+±\^₂y i_.

x \ e²—1 x 2/ Z_i jc¹+4A¹7i¹

Zauważmy, że funkcja/(jr) występuje w wyrażeniu pod całką (38).

Weźmy dowolną, nieujemną liczbę m i zastąpmy każdy wyraz szeregu przez równą mu tożsamościo-wo sumę

1

... +(-D"

(4A¹7t¹)'"

+(-ir

{Ak¹n¹r

i+

4k¹7T¹

Znąjdziemy teraz oddzielnie sumę składników postaci

(-1)"-*

x

2«-2

(4*¹7C¹)"

(1 < n < m)

dla k = 1, 2, 3,... Oznaczając, jak zwykle,

CC

fc-1

otrzymamy jako sumę tych składników wyrażenie

<-»*

(2tt)¹*

S₂mx-

2«-2^

1

x¹+4k¹n¹ 4k¹it¹ (4A:¹jr¹)¹    (4k¹iz¹)¹

2