1100

Statystycy udowodnili, że w odpowiednio dużych zbiorowość i ach około 68% jednostek badanej zbiorowości charakteryzuje się wartościami cechy nieróźniący-mi się (w górę i w dół) od średniej arytmetycznej więcej niż o jedno odchylenie standardowe 5\ Wynika z tego, żc około 68% jednostek badanej zbiorowości mieści się w przedziale:

(x -S_x ; x +S_X) lub (x-S_x<Xą_p< x+S_X).

Wyznaczmy typowy obszar zmienności dla danych z ostatniego przykładu:

7-2,1 <x_typ<7 + 2,1 4,9 0^ <9,1

Przedział ten oznacza, że około 68% pracowników firmy „Bomax' wytwarza dziennie od 4,9 do 9,1 sztuk wyrobu.

Odchylenie ćwiartkowe

Ostatnią z miar zróżnicowania, należącą do grupy miar bezwzględnych (miano wanych) jest odchylenie ćwiartkowe. Odchylenie ćwiartkowe Q wyznacza połowę rozpiętości przedziału, w którym znajduje się połowa obserwacji szeregu o wartościach najbliższych średniej (medianie).

_e=a^a    ₍₅.9)

Miara ta jest wykorzystywana wówczas, gdy do opisu tendencji centralnej zastosowano medianę.

Odchylenie ćwiartkowe, jako pozycyjna miara zróżnicowania, informuje o ile przeciętnie wartości cechy 50% środkowych jednostek zbiorow-ości różnią się od mediany. Tym samym odchylenie ćwiartkowe nic mierzy zróżnicowania całej zbiorowości, ale tylko 50% środkowych jednostek. 25% jednostek o wartościach cechy najniższych i 25% jednostek o wartościach cechy najwyższych jest odrzucana, nic-uw zględniana w obliczeniach. Na wartość odchylenia ćwiartkowego nie mają wpływu skrajne, często przypadkowe wartości szeregu.

Odchylenie ćwiartkowe ma przejrzy stą interpretację. Do jego zalet należy zaliczyć i to. żc można je obliczać wtedy, gdy w szeregu rozdzielczym występują otwarte przedziały klasowe.

Przykład 5.7.

Korzystając z danych zawartych w poniższym szeregu wyznaczmy odchylenie ćwiartkowe wieku pracowników pewnej firmy świadczącej usługi w dziedzinie reklamy.

Wick pracowników (w latach)	Liczba pracowników
Poniżej 20	18
20-30	45
30-40	70
40-50	38
50 i więcej	9

trodlo: dane umowne.

Informacje podane są w szeregu rozdzielczym z otwartymi przedziałami klasowymi. Przy niepełnym układzie informacji (nie wiemy, ile lat ma pracownik najstarszy, a ile najmłodszy) niemożliwe byłoby obliczenie klasycznych miar zróżnicowania, takich jak odchylenie przeciętne czy standardowe. W tej sytuacji nie można również obliczyć obszaru zmienności (rozstępu). Możemy natomiast, bez żadnych przeszkód, obliczyć odchylenie ćwiartkowe.

Wartość odchylenia ćwiartkowego obliczamy zgodnie ze wzorem 5.9. Podstawienie do wzoru na odchylenie ćwiartkowe wymaga wcześniejszego obliczenia kwartyla pierwszego O. i kwartyla trzeciego 0₃. Sposób wyznaczania tych miar został szczegółowo omówiony w rozdziale czwartym. Poniżej przedstawiamy dane wyjściowe oraz obliczenia niezbędne do wyznaczenia odchylenia ćwiartkowego:

Tablica 5.10. Obliczenia pomocnicze do przykładu 5.7

Wiek pracowników (w latach) *i	Liczba pracowników ^ni	Liczebność skumulowana "M
Poniżej 20	18	18
20-30	45	63
30-40	70	133
40-50	38	171
50 i więcej	9	180
_l_	180	X

Źródło: obliczenia własne.

».- 152 = 45,

4

0, =20 + ^(45-18) = 20+--27 = 20 + 6 = 26 lat.

45    9

v ³¹⁸⁰

^Nrd. = —— = 135,

4

0, = 40 + -^(135 -133) = 40 + — 2 = 40 + 0,526 » 40,5 lat, 0 _ 40_!5-26 __{? 25}

139