22948

Grupa Z_(i3 zawiera podgrupę rzędu 8.

Odpowiedzi uzasadnij.

2.    Udowodnij, że pierścień A przemienny z jedynką ma dokładnie jeden ideał maksymalny, wtedy i tylko wtedy gdy A oraz suma dwóch dowolnych elementów nieodwracalnych w A jest elementem nieodwracalnym w A.

3.    Udowodnij, że jeśli I oraz J są ideałem pierścienia P i Q odpowiednio, to zbiór / x J jest ideałem pierścienia P X Q. Następnie, korzystając z pierwszego twierdzenia o izomorfizmie pierścienia, wykaż, że (PxQ)/(/x J) = (P/ /)x(Q/j). Wskazówka: rozważ funkcję

P, </)):= (P + J,<7+ J).

5. Niech L =q(V2. VI). Oblicz stopień rozszerzenia L:Q i podaj jego bazę. Czy jest to rozszerzenie proste? Odpowiedzi uzasadnij.

14.06.2007

1.    Wykaż, że l) jest grupą cykliczną. Wskaż generatory. Podaj rz7. Podaj wszystkie nieizomorficzne podgrupy ^ll). Opisz grupę ilorazową ^ll)/H, gdzie rzH=5 (podaj tabelki działań).

2.    a) Udowodnij, że żaden element odwracalny pierścienia z jedynką nie jest dzielnikiem zera.

b) Stosując algorytm Euklidesa w Z₇[X] wskaż NWD (f, g) gdzie f = X⁴ + 4X³ + 4X² + 6 oraz g = X³ + 6X +1. Zapisz NWD (f, g) jako kombinację liniową f, g.

4.    Wykaż, że 1 = 2Z x3Z jest ideałem Z xZ . Czy jest to ideał pierwszy? Czy jest to ideał maksymalny? Korzystając z podstawowego twierdzenia o homomorfizmie pierścieni wykaż, że Z xZ //jest izomorficzny z Z₂ xZ₃.

5.    Podaj bazę i wymiar rozszerzenia q(i. Vs). Wykaż, że o(i, >/§) = <?(/ +Vs). Podaj wielomian minimalny dla / + Vs. Odpowiedź uzasadnij.

1. Korzystając z pierwszego twierdzenia o izomorfizmie pierścieni udowodnij, że jeśli A=Z₃[X] oraz I=(X²+1)A to pierścień ilorazowy A\I jest izomorficzny z Z_s xZ_5l

3.    W pierścieniu ilorazowym Z[X]\I gdzie I=X³Z[X] rozwiązać równanie o niewiadomej t: ((3+X+X²)+ I)t=(3-5X+X²)+1.

4.    Stosując algorytm Euklidesa dla wielomianów f=X³+X²⁺6X+4, g=X⁴+6X³+2X²+2 z pierścienia Z₇[X]obliczyć NWD (f, g) a następnie wielomian NWD (f, g) przedstawić w postaci NWD (f, g)=hf+kg, gdzie k,g€ Z₇[X].

18 września 2006