img116

116

Aby udowodnić, że część wspólne dowolnej Ilości zbiorów domkniętych jest domknięta, należy pokazać, że

Cl,

(Z,d)\t CT Zauważmy najpierw, że

(x, rcz t xcy)

Zc7

^C1(z,d)^A

z⁹ r\

tcT

<*)

«*(Z,d)*^CC1(Z.d)^Y>

(**)

Istotnie, niech p c Cl^_{z d}jX, tzn. p£X albo p^X i p e X^_{2 d})* ^W

pierwszym przypadku pcY, zatem pcC1,_ _H>Y. W przypadku drugim, ist-1 2

nieje cięg punktów p,p,.«. zbioru X (a zatem i zbioru Y) taki, ża

lim pap (£> 4 p). Zetem punkt p jeet punktem skupienie zbioru Y, m —» co

Pokazaliśmy więc (**).

Ponieważ dle każdego p eT mamy I I AjcA . więc na mocy (x*) jest

^C1(Z,d)(tVT ^At)^cC1(_Z,ó)^Ay ^dla    P^£j> ^a #t«^d (*>•

2.1. Załóżmy, że cięg 3.Ś?,... jest fundamentalny; wówczas istnieje taka, że dla wszystkich liczb naturalnych k>n i

liczba naturalna

l>n spełniona jest nierówność d(x,x)^l. A zatem dla wszystkich ncN mamy

d(x,x)*mex Jl, d(3,x), d(§,x), ..., d(ⁿx*_# x)} » r

Oznacza to, że wszystkie wyrazy cięgu 3,1,... leżę w kuli £(x,r), co trzeba było wykazać

2.2. Niech a będzie dowolnym elementem zbioru Z. Należy pokazać, że    'w

/A V /\ d(x.wK£«^bld(x,y) - d(a,y)l<e e>0    «T>0 x e z

Zauważmy, że z a kej oma tu trójkęta mamy <l(x,y) 4d(x,a) ♦ d(a,y)

<*(«#y) =6 d(a,x) ♦ d(x,y)

Stęd wynika, że ld(x,y) - d(e,y)l ^ d(x,a). Wystarczy więc przyjęć £»e, aby stwierdzić, że warunek d(x,a)<£ pocięge I d{x,y) - d(a,y)l<6.

. 2.3. Dziedzinę zadanej funkcji jest zbiór

D - {(x₁.x₂) € R²: -1 * ^ * 1.    *! / oj

Wyłęczajęc punkty leżęce na osi 0x₂ (bo f 0) stwierdzamy, że .x_?    x, tx« _r

(<) "¹^x^ *=* ⁰ £    ** U*i*^x2^:>-^{0 1} *i> °) ^lub