15

IS.Sygnał analityczny i jego widmo.

Wzór Eulera : cos cuO< = ~(e^M' 2

+ e ^M<), przedstawiający sygnał harmoniczny w postaci

sumy dwu funkcji zespolonych sugeruje, że dowolny sygnał x(t) o znanym widmie G(oi) można jednoznacznie przedstawić jako sumę dwóch sygnałów, z których każdy zawiera w

swoim widmie tylko dodatnie lub ujemne pulsacje. Funkcja z(t) = — f G(<v)e^Jmd<v nazywa

się sygnałem analitycznym stowarzyszonym z sygnałem rzeczywistym x(t). Jest związek pomiędzy sygnałami x(t) i z(t): x(i) = -■[z(/) + z‘(/)] lub, co jest równoważne x(t) = Re[z(t)].

Część urojona sygnału analitycznego : x(t) = Im[z(/)] nazywa się sygnałem skojarzonym z sygnałem x(t). Sygnał analityczny z(t) - x(t) + Jx(r) na płaszczyźnie zespolonej można przedstawić jako wektor, którego moduł i kąt fazowy zmieniają się w czasie. Rzut sygnału analitycznego na oś rzeczywistą w chwili t jest wartością sygnału x(t). Sygnał analityczny z(t) można wyrazić poprzez jego funkcję widmową Z(©) z(t) = --- j Z(a))e^iM dw . Zgodnie z definicją sygnał analityczny z(t) w zakresie ujemnych pulsacji jest równy zero. Z(co) = 2G(«) dla co>=0 i 0 dla <o<0. Widmo Z(tt») można przedstawić w postaci: Z(m) = G(<v) + jó(m), gdzie G{w) - widmo sygnału skojarzonego x(t). Równość będzie spełniona, gdy widmo sygnału skojarzonego x(f) i widmo sygnału x(l) spełniają następującą zależność.

Cr(ai) = -y'sgn(<y)6’(r») = -jG{<x>)dlaa> > 0, jG(aj)dkta) < 0. Ponieważ widmo sygnału skojarzonego jest iloczynem widm sygnału x(t) i funkcji -jsgn(w), to sygnał jest splotem tlinkcji x(t) i (jt). która jest odwrotną transformatą Fouriera ftmkcjt --jsgn(©)

x(t) = x(t) * — = — f ~—Xlr , gdzie    to odwrotna transformata Fouriera funkcji

ni rc ’J - r    nr

jsgn((r>). x(t) = -x(i)* — = —    . Wzór na x(t) i na x{l) nazywa się

nr

przekształceniami Hilberta. Mają one szereg istotnych właściwości. Definiują one sygnał analityczny w taki sposób, że kiedy dla danego t sygnał x(t) osiąga extremum, to składowa z nim skojarzona przechodzi przez zero, czyli sygnał x(t) i jc(/) są wzajemnie ortogalnymi.