34 35

mamy do czynienia w szeregach rozdzielczych punktowych i przedziałowych. Wzór na obliczanie średniej arytmetycznej z szeregów rozdzielczych punktowych ma następującą postać:

x,n, + x₂n_: + ... + x_kn_k

X^x,n,

(2.2)

i* 1_

N gdzie n,(i = 1, 2, .... k) oznacza liczebność jednostek odpowiadającą poszczególnym wariantom zmiennej, a N jest sumą tych liczebności.

W szeregach rozdzielczych przedziałowych wartości zmiennej w każdej klasie nie są jednoznacznie określone, ale mieszczą się w pewnym przedziale. Toteż w celu obliczenia średniej arytmetycznej w przypadku tego rodzaju szeregów należy uprzednio wyznaczyć środki przedziałów. Środki przedziałów otrzymuje się jako średnią arytmetyczną dolnej i górnej granicy każdej klasy. Oznaczamy je symbolem i,. Wzór na średnią arytmetyczną z szeregu rozdzielczego przedziałowego jest następujący:

i

o ,    a    Xv^ł.

x.n. + x-,n-, + ... + x.n.

*-^L‘-^us—<²-³⁾

Jeżeli zamiast liczebności absolutnych wykorzystywane są w obliczeniach procentowe wskaźniki struktury, to wzór na średnią arytmetyczną przyjmuje postać:

x =

100

(2.4)

ⁿi

gdzie Wj m — • 100.

Sposób obliczania średniej arytmetycznej z szeregu rozdzielczego przedziałowego ilustruje przykład podany w tablicy 1.

Podstawiając odpowiednie dane z tablicy 1 do wzorów (2.3) i (2.4) otrzymujemy:

X = ^ = 54,8 punktów oraz .t ■    - 54,8 punktów.

Wiedza ze statystyki (v punktach) xu-xu	Liczba studentów n,		Obliczenia	łotnocnicze
		I,	i,n,	w,
20-30	2	25	50	4.0	100.0
30-40	10	35	350	20.0	700,0
40-50	7	45	315	14.0	630.0
50-60	9	55	495	18.0	990.0
60-70	12	65	780	24.0	1560.0
70-80	10	75	750	20.0	1500.0
Kuzcm	50	X	2740	100.0	5480.0

/11MI0. Dun* uminanr.

Otrzymane wyniki są równoważne, gdyż wartość średniej arytmetycznej nie zależy od liczebności poszczególnych klas. ale od proporcji między nimi.

Często się zdarza, że znamy średnie arytmetyczne dla pewnych grup i na tej podstawie chcemy obliczyć średnią arytmetyczną dla wszystkich grup łącznie. Wykorzystujemy wówczas następujący wzór:

t

(2.5)

gdzie: i jest średnią ze średnich; x, — średnią arytmetyczną i-tej grupy; n, — liczebnością i-tej grupy; N — sumą liczebności grup.

Średnia arytmetyczna —jako miara przeciętna — charakteryzuje się pewnymi własnościami. Oto niektóre z nich:

1)    jako miara klasyczna jest wypadkową wszystkich wartości zmiennej i spełnia nierówność: x_m < x <

2)    suma odchyleń poszczególnydL^artPŚęi -Zinieimgi-Od śicdaifij nryimetycsnęjjcst rownazeru, czyli:

.V

£(x - x) = 0 w przypadku szeregu wyliczającego.

- x)n, = 0 w przypadku szeregu rozdzielczego punktowego,

*

- X) = 0 w przypadku szeregu rozdzielczego przedziałowego;

35