44 45

Rys. 5. Graficzna metoda wyznaczania kwartyli

Kwartyle są dogodnymi parametrami w analizie struktury. Mogą być bowiem wykorzystywane w tych wszystkich przypadkach, w których niemożliwe jest obliczenie z danego szeregu średniej arytmetycznej (otwarte przedziały klasowe, ekstremalne wartości), a także dominanty (nierówne rozpiętości przedziałów, silna asymetria rozkładów).

Decyle i centyle (percentyle) wyznacza się podobnie jak kwartyle. Decyle dzielą zbiorowość uporządkowaną na 10 części pod względem liczebności. Decyl trzeci np. to taka wartość cechy, że 0,3 wszystkich jednostek zbiorowości ma wartości od niej niższe, a 0.7 — wartości wyższe. Decyli jest 9. a piąty decyl jest medianą.

Centyle (percentyle) dzielą zbiorowość uporządkowaną na 100 części pod względem liczebności. Ccntyli jest 99. a pięćdziesiąty centyl jest równy medianie. Na przykład 39 centyl jest taką wartością, że 0,39 wszystkich jednostek badanej zbiorowości ma wartości od niej niższe, a 0,61 jednostek — wartości wyższe.

Średnia arytmetyczna, dominanta i mediana, jako miury tendencji centralnej, są powiązane ze sobą odpowiednimi zalcżnościumi. które można wyrazić równościami lub nierównościami (decyduje tu typ rozkładu empirycznego). Zależności te zostaną omówione pr/.y miarach asymetrii. W tym miejscu podajemy jedynie, że w przypadku rozkładu

umiarkowanie asymetrycznego zachodzi między nimi następujący związek:

X - D = 3(X - Me).    (2.15)

Wzór (2.15) nosi nazwę wzoru Pearsona. Ze wzoru tego — po odpowiednich przekształceniach — można wyznaczyć nieznaną średnią. gdy znane są dwie pozostałe. I tak np. znając średnią arytmetyczną i medianę, możemy wyznaczyć dominantę:

D = 3Me - 2X. ^N    (2.16)

2.2. Miary zmienności

Wartości średnic nic dają wyczerpującej charakterystyki struktury zbiorowości. W szczególności nic informują one o stopniu zmienności (dyspersji) badanej cechy. Dyspersją (rozproszeniem) nazywamy zróżnicowanie jednostek zbiorowości statystycznej ze względu na wartość badanej cechy. Siłę dyspersji oceniamy za pomocą pozycyjnych i klasycznych miar zmienności. Do miar pozycyjnych należą: empiryczny obszar zmienności (zwany też rozstępem lub amplitudą wahań) oraz odchylenie ćwiartkowe. Grupę miar klasycznych tworzą: odchylenie standardowe, wariancja oraz odchylenie przeciętne. Do miar zmienności zaliczamy również współczynnik zmienności, który — w zależności od techniki obliczania — może być klasyczną lub [ pozycyjną miarą dyspersji.

Miary zmienności można również podzielić na bezwzględne (absolutne) i względne (relatywne). Do bezwzględnych miar zróżnicowania zalicza się obszar zmienności, wariancję, odchylenie standardowe, przeciętne i ćwiartkowe. Względną miarą dyspersji jest współczynnik zmienności, wyrażany w procentach. Służy on do porównywania zmienności cech mierzonych w różnych jednostkach, a także do porównywania kilku zbiorowości pod względem tej samej cechy, ale będącej na różnym poziomie (pkreślonym średnią arytmetyczną lub inną miarą średnią).

Empiryczny obszar zmienności jest różnicą między największą i najmniejszą wartością zmiennej w badanej zbiorowości:

R

(2.17)

Jak wynika ze wzoru (2.17), obszar zmienności możemy określić

45