Ebook

1U Hozdział 1. I^Jrzc<jląd funkcji rleinrnhmiych

PRZYKŁAD 2. Wykorzystując schemat Homera, określić krotność pierwiastka 1 wielomianu W(x) = 3a:⁴ — 8x³ + 6x² — 1.

ROZWIĄZANIE.

Budujemy tabelkę i wypełniamy ją zgodnie z podanym wyżej schematem.

	3	-8	6	0	-1
1	3	-5	1	1	0

Liczba 0 w ostatnim polu świadczy o tym, że 1 jest pierwiastkiem wielomianu W(x). Zatem

W(x) = (x — l)(3x³ — 5x² + x + 1).

Aby sprawdzić, czy 1 jest pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu W(x), należy wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu G(x) = 3x³ — 5x² + x + 1 przez dwumian x — 1. Możemy to zrobić w tej samej tabelce. Proces kontynuujemy dotąd, aż uzyskamy niezerową resztę z dzielenia.

	3	-8	6	0	-1
1	3	-5	1	1	0
1	3	-2	-1	0
1	3	1	0
1	3	4

Liczba 1 jest pierwiastkiem o krotności 3 wielomianu W{x) = 3x⁴ — 8x³ + 6x² — 1, gdyż reszty z dzieleń tego wielomianu przez x — 1, (x — l)², (x — l)³ są zerowe, zaś reszta z dzielenia przez (x — l)⁴ jest równa 4.

PRZYKŁAD 3. Wyznaczyć p, q tak, by liczba 3 była pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu W(x) = x³ — 5x² + px + q.

ROZWIĄZANIE.

Wykorzystamy schemat Homera. Budujemy odpowiednią tabelkę i dzielimy W(x) przez dwumian x — 3, a następnie uzyskany wielomian jeszcze raz dzielimy przez dwumian x — 3.

I Wielomiany

	1	-5	P	Q
3	1	-2	-6 + p	-18 4- 3p + q
3	1	1	-3 + p

Aby liczba 3 była pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu W(x)_t współczyn ■ ul i p_tq muszą spełniać układ równań —18 + Sp + q — 0 i 3 f />    0 1*0

u*/.wiązaniu tego układu otrzymujemy p = 3 i q = 9. Można sprawdź,u , . < dln p 3 i q = 9 wielomian W{x) nie jest podzielny przez (x 3)¹

i U/YKŁAD 4. Wyznaczyć pierwiastki wielomianu W (x) — I ./    (>/■ l '

HOZWIĄZANIE.

i podstawie twierdzenia Kartezjusza pierwiastkiem wielomianu może byt któraś z liczb —1,1, —2, 2, —    Można sprawdzić, wy

korzystując schemat Homera, że żadna z podanych wyżej liczb całkowitych nic jest pierwiastkiem wielomianu W{x). Sprawdzimy, czy liczba jest pin wiastkiem wielomianu W(x). Stosujemy schemat Homera i budujemy odpowiednią tabelkę.

	6	1	-6	2
1 2	6	4	-4	0

Zut ('in liczba h jest pierwiastkiem wielomianu W(x). Ponadto

W(x) =    ^ (6x² + 4x — 4) = 2 (x — ^ (3x² + 2x — 2).

Aby znaleźć pozostałe pierwiastki wielomianu W(x), rozwiązujemy równanie

3x² + 2x — 2 = 0.

Stąd otrzymujemy x = — ^    ^ lub x = — ^

Ostatecznie otrzymujemy, że wielomian W(x) posiada trzy pierwiastki

x\ 3 -r ₃ , X2 ₃    3 , ^3 ~ 2 •

PRZYKŁAD 5. Rozłożyć na czynniki wielomian W(x) = x⁴ + 3x² + 4.