Struik 020

harmonicky soulad aritmetiky a geometrie, spada pravde-podobni do poślednich desetilet! 5. stoleti pred n. 1. Zśroveń s nim se objevila jeSte jedna obtiż, kterś pra-menila ze sporu tykajicich se reality zmeny, tedy sporu zam§stnćtvajlcich filosofy od onech dob aź dodnes. For-mulace techto nesnazi se pripisuje Parmenidovu żśku Zenonovi z Elea (kołem roku 450 pred n. 1.). Zenon byl konzervativn! filosof, ktery soudil, ze rozum muzę po-zndvat jen absolutni nemennou existenci veci, zatimco vsechny zmeny jsou jen zdanlive. Tyto myślenky nabyvaji matematickfeho vyznamu tehdy, kdyź treba v souvislosti s otśzkami urceni objemu pyramidy je nutno studovat nekonećne procesy. Zde se dostały Zenonovy paradoxy do konfliktu s nSkterymi starśimi intuitivnimi pójmy, ktere se vztahuji k nekonećne malśmu a k nekonefine velkemu. Vźdy se soudilo, że soućet nekonecne mnoha velićin muże byt tak veliky, jak chceme, i kdyż by każdś velićina była nekonecne mała (oo. e = oo), a stejne że souCet konednś nebo nekonedne mnoha velicin nuloveho rozmśru davś nulu (m. 0 = 0; oo. 0 = 0). ZenonOv kriticismus pochyboval o t§chto pojmech a jeho ćtyri pa-radoxy¹ vzbudily takovou pozornost, że jej! pusobeni po-zorujeme dodnes. Zenonovy paradoxy znSme jako: Achilles, śip, dichotomie a stadion se dochovaly diky Aristotelovi. Jsou formuIovdny tak, aby vynikl rozpor mezi pójmy pohyb a £as, priSemż neni naznacena żddnń snaha o feśeni tohoto rozporu. Jddro Zenonovy uvahy si objasn§me na paradoxech Achilles a dichotomie, kterd znśji v modernijli formulaci takto:

Achilles: Achilles a żelva se pohybuji primocare v temże 'SmSru. Achilles je mnohem rychlejśi neż żelva, avsak aby ji doho-nll, musi nejprve projlt bodem P, z nehoż żelva vyśla. V okam-żiku, kdy dostihl bodu P, postoupila jiż żelva k bodu Pi. Achilles vSak nemuże chytit żelvu, aniż by prosel bodem P_lt avsak żelva zatlm postoupl do noveho bodu P₂. Je-li Achilles v P₂, źelva zatim dosdhla dalśiho bodu P₃ atd. Achilles tedy nemuże dohonit żelvu.

Dichotomie: Predpoklśdejme, że chceme jit po pfimce z bodu A do B. Abychom dosśhli bodu B, musime nejprve projit polovinou vzdślenosti AB, tj. AB i, ovSem abychom dosśhli Bi, musime nejprve dosśhnou Bi, tj. polovinu cesty mezi A a Bi. To vśak pokracuje do nekonećna, także pohyb nemilże vńbec zacit.

Zenonovy aporle ukazovaly, ze koneśnś usecka muże byt rozlożena na nekonednś mnohci małych usecek, z nichż każdś mś konecnou dełku. Ukazały dśle, źe je obtiżnś vysvetlit, co se vlastne mini tvrzenim, że primka se „sklśda" z bodu. Je velmi pravdepodobne, że Zenon sśm nemel predstavu o matematickych dusledcfch svych uvah. Problśmy, ktere vedly k temto paradoxum, se totiż pra-videlne objevovaly v prubehu filosofickych a teologick^ch diskusi. Jsou znśmy jako problśmy tykajlcl se vztahu mezi potenciślnim a aktualnłm nekonecnem. Paul Tanne-ry se vsak prece jen domnival, że Zenonovy uvahy były namireny zvlśśtś proti pythagorejskś ideji prostoru jako souhrnu bodu („bod je jednotkou połohy")^{2 3}. At je pravda jakśkołi, Zenonovy uvahy mdły jistd po mnoho generaci vliv na matematickś mydleni. Jeho aporie lze srovnat s paradoxy, kterych użil roku 1734 biskup Berkeley, aby ukśzał Iogickś absurdnosti, k nimż mtiże vśst nepresnś formulace zśkładu matematickś analyzy, aniż by se viak sśm pokusił o lepSI zddvodnśni.

Zenonovy aporie vsak zadały trśpit matematiky jedtś vic po objevu iracionality. Była matematika vtibec możnś jako exaktni vśda? Tannery® zastśval nśzor, że lze mluvit „o skutednśm logickśm skandślu" — o krizi feckś matematiky. Jestliże ję tomu tak, pak tato krize vypukla v poślednich letech pełoponśskś vśłky kondici roku 404 pśdem Atśn. Pak mużeme takś videt vztah mezi krizi V mate-matice a krizi sociślniho systśmu, protoże pśd Atśn był rovndż pśdem vlśdy otrokśrskś demokracie a uvodem

41

1

Zenon formulovai pdvodne 45 aporif, z nichż se docho-valo 9; viz: Baśmakova, Lekcii po istorii mat§matiki v drev-nej Grecii, Istoriko-matem. issledovanija XI, 1958, str. 324 (pozn. prekl.)

2

   P. Tannery, La geomśtrie grecgue, Parls 1887, str. 217— 261. Jiny nśzor zastśvś B. L. van der Waerden, Math. Anna-len, 117 (1940), str. 141—161.

3

   P. Tannery, 1. c. str. 98. Tannery na tomto miste po-jednśvś jen o zhroucenf stare teorie proporci v dśsledku objevu nesoumeritelnych usećek.