harmonicky soulad aritmetiky a geometrie, spada pravde-podobni do poślednich desetilet! 5. stoleti pred n. 1. Zśroveń s nim se objevila jeSte jedna obtiż, kterś pra-menila ze sporu tykajicich se reality zmeny, tedy sporu zam§stnćtvajlcich filosofy od onech dob aź dodnes. For-mulace techto nesnazi se pripisuje Parmenidovu żśku Zenonovi z Elea (kołem roku 450 pred n. 1.). Zenon byl konzervativn! filosof, ktery soudil, ze rozum muzę po-zndvat jen absolutni nemennou existenci veci, zatimco vsechny zmeny jsou jen zdanlive. Tyto myślenky nabyvaji matematickfeho vyznamu tehdy, kdyź treba v souvislosti s otśzkami urceni objemu pyramidy je nutno studovat nekonećne procesy. Zde se dostały Zenonovy paradoxy do konfliktu s nSkterymi starśimi intuitivnimi pójmy, ktere se vztahuji k nekonećne malśmu a k nekonefine velkemu. Vźdy se soudilo, że soućet nekonecne mnoha velićin muże byt tak veliky, jak chceme, i kdyż by każdś velićina była nekonecne mała (oo. e = oo), a stejne że souCet konednś nebo nekonedne mnoha velicin nuloveho rozmśru davś nulu (m. 0 = 0; oo. 0 = 0). ZenonOv kriticismus pochyboval o t§chto pojmech a jeho ćtyri pa-radoxy1 vzbudily takovou pozornost, że jej! pusobeni po-zorujeme dodnes. Zenonovy paradoxy znSme jako: Achilles, śip, dichotomie a stadion se dochovaly diky Aristotelovi. Jsou formuIovdny tak, aby vynikl rozpor mezi pójmy pohyb a £as, priSemż neni naznacena żddnń snaha o feśeni tohoto rozporu. Jddro Zenonovy uvahy si objasn§me na paradoxech Achilles a dichotomie, kterd znśji v modernijli formulaci takto:
Achilles: Achilles a żelva se pohybuji primocare v temże 'SmSru. Achilles je mnohem rychlejśi neż żelva, avsak aby ji doho-nll, musi nejprve projlt bodem P, z nehoż żelva vyśla. V okam-żiku, kdy dostihl bodu P, postoupila jiż żelva k bodu Pi. Achilles vSak nemuże chytit żelvu, aniż by prosel bodem Plt avsak żelva zatlm postoupl do noveho bodu P2. Je-li Achilles v P2, źelva zatim dosdhla dalśiho bodu P3 atd. Achilles tedy nemuże dohonit żelvu.
Dichotomie: Predpoklśdejme, że chceme jit po pfimce z bodu A do B. Abychom dosśhli bodu B, musime nejprve projit polovinou vzdślenosti AB, tj. AB i, ovSem abychom dosśhli Bi, musime nejprve dosśhnou Bi, tj. polovinu cesty mezi A a Bi. To vśak pokracuje do nekonećna, także pohyb nemilże vńbec zacit.
Zenonovy aporle ukazovaly, ze koneśnś usecka muże byt rozlożena na nekonednś mnohci małych usecek, z nichż każdś mś konecnou dełku. Ukazały dśle, źe je obtiżnś vysvetlit, co se vlastne mini tvrzenim, że primka se „sklśda" z bodu. Je velmi pravdepodobne, że Zenon sśm nemel predstavu o matematickych dusledcfch svych uvah. Problśmy, ktere vedly k temto paradoxum, se totiż pra-videlne objevovaly v prubehu filosofickych a teologick^ch diskusi. Jsou znśmy jako problśmy tykajlcl se vztahu mezi potenciślnim a aktualnłm nekonecnem. Paul Tanne-ry se vsak prece jen domnival, że Zenonovy uvahy były namireny zvlśśtś proti pythagorejskś ideji prostoru jako souhrnu bodu („bod je jednotkou połohy")2 3. At je pravda jakśkołi, Zenonovy uvahy mdły jistd po mnoho generaci vliv na matematickś mydleni. Jeho aporie lze srovnat s paradoxy, kterych użil roku 1734 biskup Berkeley, aby ukśzał Iogickś absurdnosti, k nimż mtiże vśst nepresnś formulace zśkładu matematickś analyzy, aniż by se viak sśm pokusił o lepSI zddvodnśni.
Zenonovy aporie vsak zadały trśpit matematiky jedtś vic po objevu iracionality. Była matematika vtibec możnś jako exaktni vśda? Tannery® zastśval nśzor, że lze mluvit „o skutednśm logickśm skandślu" — o krizi feckś matematiky. Jestliże ję tomu tak, pak tato krize vypukla v poślednich letech pełoponśskś vśłky kondici roku 404 pśdem Atśn. Pak mużeme takś videt vztah mezi krizi V mate-matice a krizi sociślniho systśmu, protoże pśd Atśn był rovndż pśdem vlśdy otrokśrskś demokracie a uvodem
41
Zenon formulovai pdvodne 45 aporif, z nichż se docho-valo 9; viz: Baśmakova, Lekcii po istorii mat§matiki v drev-nej Grecii, Istoriko-matem. issledovanija XI, 1958, str. 324 (pozn. prekl.)
P. Tannery, La geomśtrie grecgue, Parls 1887, str. 217— 261. Jiny nśzor zastśvś B. L. van der Waerden, Math. Anna-len, 117 (1940), str. 141—161.
P. Tannery, 1. c. str. 98. Tannery na tomto miste po-jednśvś jen o zhroucenf stare teorie proporci v dśsledku objevu nesoumeritelnych usećek.