P1070264

(8)    W zbiorze IR³ rozpatrzmy podzbiory:

(a) Ai = {(ją, x₂, x₃) £ K³; Xj = 0),

(b) A-i = {(*„ x₂, x₃) € R3; Xi ■ x₂ = 0},

(c)    A_s    =    (*,,    x₂,    x₃)    £    IR³;    x₂    ź 0},

(d)    A.t    =    {(xi,    x₂,    x₃)    €    IR³;    Xj    + x₂    = 0},

(o)    A$    {(xi,    x₂,    x₃)    e    IR³;    x_x    + x₂    + z₃ = 0},

(f)    .4₃    =    {(si,    x₂,    x₃)    e    IR³;    x_t    -f x₂    = 1}.

Zbadać, czy (A_t, +, •), gdzie i = 1,    6, jest podprzestrzenią

R³.

(9)    W zbiorze E = {/; / : |0, 1] —» R} określamy działania dodawania i mnożenia funkcji przez skalar następująco:

(/ + g)(x) = /(x) + g{x),

(A/)(*) = A/(*).

Zbadać, czy zbiór (Ai, +, •), gdzie i — 1,    4 jest pod

przestrzenią E(R):

(a)    Ai = {f £ E; f(x) = ax² + bx + c A a^0},

(b)    A₂ = {/€E; 2/(0) = /(l)},

(c)    A₃ = {/ e £; V_ie[o. !]/(*) > 0),

(d)    a₄ = {/ e E\ /(i) = 0}.    , ;_v

(10)    Które z podzbiorów Vi, V2 C R^ri są. podprzestrzeniami R^r,(R):

(a)    Vi — {x £ R'¹; Xi £ Z},

(b)    V₂ = {x £ Rⁿ;xi =0 V x₂ = 0}.

(11)    Czy W = {{x_u z₂, x₃) € R³; x_x = -2z₃ A x₂ e Q} jest

podprzestrzenią R³(R)?

(12)    Czy A, B s podprzestrzeniami przestrzeni V, gdzie:

(a)    V = R⁴, A = {(z,    x + 1, 0, 1); x    £ R},

(b)    V = R⁴, B = {(x,    y, x + y, x — y)\    x, y 6 R).

(13)    Zbadać, które z poniższych zbiorów są podprzestrzeniami wektorowymi V:

(a)    {x £ R²; z² - 1 =    0}, V = R²,

(b)    {z e R²; X! - 4x²    = 0}, V = R²,

(c)    {z g R²; X! - 2x₂    = 2}, V = R²,

(d)    {z £ R³; (xi - x₂)(xi - x₃) f 0}, V = R ,

(e)    (x 6 R²; e^331+3:2 = 1}, V =R²,

(f)    {p £ RaN | p( 1) = p'(0)}, K = RN,

(g)    {P I stopień wielomianu p jest równy 4}, V - RN>

(h)    {p | wielomian p jest funkcją parzystą}, V = R[z],