047

Pro korony x\, x₂ dane rovnice tedy plati

Pro korony x\, x₂ dane rovnice tedy plati

V2

xi — ai + bi i = x₂ = a₂ + b₂i = -

+ i

-1 + y/2

-l + y/2

2y/-l + v/2

y/2

2y/—l + y/2    " V ²

Presvedćte se zkouskou, że obć takto ziskana ćisla xi, x₂ vyhovuji dano rovnici, a porovnanim s vysledky ziskanymi v a), resp. b) ukażte, że plati

cos = \\J^+ x/2, sin |jt = ^2 - \f2.

Zavćrem se jest,o zminime o rozkładu kvadratickeho trojćlenu s komplexnimi koeficionty v soućin. V ćlanku 3.1 jsme poznali, żc każdy kvadraticky trojćlen ax² + bx + c s realnymi koeficienty lze vyjadrit jako soućin a(z - x\ )(x - x₂), kde x\, x₂ jsou korony rov-nice ax² + bx + c = 0. Z toho, co było rećeno o kvadraticke rovni-ci s koeficienty komplexnimi, vyplyva, że take kvadraticky trojćlen s kornplexnimi koeficienty lze rozlożit v soućin. Tak napr. pro trojćleny iar² + 2x — 5i a (1 — i)a;² — (5 — i)x + 6 — 4i plati (użitim vysledku prikladu 7 a 8):

i a:² + 2x — 5i = i (x - 2 - i)(:r + 2 - i)

(1 - i):r² - (5 - i)£ + 6 - 4i = (1 - i)(:r - 2 - 3i)(x - 1 + i)

Na konci kapitoly, ve ktere jsme ukazali, że każda kvadraticka rovnice ma v komplexnim oboru aspoń jeden koren, je vhodne zminit se aspoń kratce o tzv. zakladni vete algebry. Nazyva se tak veta, ktera tont.o poznatck o kvadraticke rovnici zobecńuje na rovnici libovolneho stupne:

Każda algebraicka rovnice n-tćho stupnć s komplexnimi koeficienty ma aspoń jeden komplexni koren.

Tuto vetu dokazal v roce 1799 nemecky matematik C. F. Gauss; było mu tehdy dvaadvacet, let...

Ulohy

3.11    V mnożine C reśte rovnłce:

a)    x² + 3x + lOi = 0

b)    x² — 2x + 9 + 6i = 0

c)    x² + (2 - 3i)a: - 5(1 + i) = 0

d)    x² - 4 = 3i

3.12    V mnozine C reśte rovnice:

a) _x + i = - + t    b) x² + 4 + Vx² + 4 = 0

x i

3.13    Urćete komplexni ćisla, ktera vyhovuji soustave rovuic:

a) 2x - y = 1 + 3i    b) x² + y² = 1

xy = 2    x - y = -2

3.14    V mnoźine C reśte rovnice:

	( ^4 V^2
a) x^2 =	\ — 1 + i\/3/
b) x^2 -	(1 + i)^100
	(l-i)^96-i(l + i)^98

3.15 Urćete ćislo p € C tak, aby rovnice x² - 2 (3 + i)x + p = 0 mela jediny koren.

93