006

Ulohy

1.1    Urćete, pro ktera p € R ncma rovnice x² + (2p — l)x — p² — 0 realne koreny.

x

1.2    Ve tvaru - , kde x € R, y G Z, zapiśte pfevracena ćisla k ćislum

^    3

3 - y/2, v/3 + y/2, \/l9 - 7, -7= .

v5

X    —

1.3    Ve tvaru - . kde x, y £ Z, zapiśte prevraccna cisla k cislum 0,3;

_V

0,17; 0,17.

1.4    Dokażte, że plati:

a)    Soućet racionalrnho a iracionalniho cisla je ćislo iracionalni.

b)    Soućin nenuloveho racionalrnho a iracionalniho ćisla je ćislo iracionalni.

[Navod: Poużijte dukazu sporem a toho, że soućet, resp. soućin racionalnich ćisel je ćislo racionalni.]

*1.5 Oznaćme T mnożinu vśech realnych ćisel, ktera lze zapsat ve tvaru x + y\/3, kde x, y jsou ćisla. racionalni. Rozhodnćte, zda

ćisla u + v, u - v, uv, — , kde u,v,w ^ 0 jsou ćisla z T, jsou w

rovneż ćisla z T.

1.2 Zavedeni komplexnich ćisel

Vezmeme konkretni pfiklad a pokusme se vyre§it kvadratickou rovnici

x² + 1 = 0.

Tato rovnicc nema v realnem oboru feśeni, nebot neexistuje żadne realne ćislo, jehoż druha mocnina je rovna ćislu —1. Nenechme se tim vśak odradit, a predpokladejme, że existuje prvek - oznaćme jej i dosud neznameho ćiselneho oboru, pro nejż plati i² = — 1. Mużeme pak rici, że ćislo i je korenem rovnice x² + 1 = 0. nebot’ plati i² + 1 = -1 + 1 = 0.

Tento predpoklad o existenci ćisla i, pro nćż i² — —1, urnożńujc reśit i jine kvadraticke rovnice; je napr. vidćt, źe pokud plati rovnost

(±3i)² = 9 i²,

jsou ćisla ±3i korony rovnice x² + 9 = 0, nebot’ je

(±3 i)² + 9 = 9i² + 9 = -9 + 9 = 0.

Podobny postup muźeme aplikovat i na obecny pripad kvadraticke rovnice se zapornym diskriminantem. Napr. pri reśeni rovnice

x² - 4z + 13 = 0,

jejiź diskriminant je roven —36, je możno postupovat tak, że lovou stranu toto rovnice doplnime na druhou mocninu linearniho dvojćlenu

x² - 4x + 13 = (x - 2)'² + 9

a substituci y = x — 2 dostaneme rovnici

y²+ 9 = 0;

o teto rovnici jiź vime, źe - za predpokladu existence zmineneho ćisla i - ma za koreny ćisla

V 1,2 = ±3i.

Odtud pak snadno dostaneme, źe rovnici x² — 4x + 13 = 0 vyhovuji ćisla

Xi,2 = 2 + y 1,2 = 2 ± 3i.

K podobnym vysledkum dochazime i v pripade ostatnich kvad-ratickych rovnic se zapornym diskriminantem; pfesvedćte se sami, źe uvedenym postupem ziskate pri reśeni rovnice 3.t² — lx + 5 = 0 jako

jeji koreny ćisla ^ ± i ■

Vo vścch takovychto pripadech ziskavamc tak jakesi vyrazy typu a + bi, ktere nejsou realnymi ćisly; budeme je nazyvat ćisly komplex-nimi.

11