img491

lim

ft H'»

lun

* > •••

f) lim

d)    lim

Jt->+oc

e)    lim

x-»-oc

f)    lim

i *% \ /miu, gmiiiue;

Urn ^Jh UdM

X > fOU    ję

lim -==J^—j=,

' V2jc h- 1 - V3x +1

lim(Vjc² + 2x +3 -Vx² +1),

» > I1U

Ml. Oblicz granice:

Vx^ + x - yjx² +1

Vx² +2x -Vx² -2 Vx² — 3jc -Vx² +4 V*² -x -Vx² +5

.. Vjc² + 4x - V 4x² +3

hm -==—    —

' * '^r \l4x² +1 -V9x² +5

cl) lim(\Af² + 4-Vx² -3x +1), e) lim(V*^J+1-Vx²+3), ^x-**“Jx² + x -Vx² +3 x² +4x -V4x² +3

V 4x² +1 - V9x² + 5 ’ Vx² +3x -Vx² +1 Vx² +3 — Vx² -5 ’ Vx² -1 —Vx² +x

^⁺“a/x² +1 - Vx² +4

I. Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach, wykaż, że:

/ 2000 .

.. cosx _ lim-=0,	c) lim
.. sinx lun ——— 0,	d) lim
* "X +1	X —>+co

: ²°°o ₊₂₀₀₍₎

■=0,

= 0.

Vx² +2001

Granice jednostronne funkcji w punkcie

2. Zbadaj, czy istnieją granice. Jeśli tak, to je oblicz. Zilustruj zadanie rysunkiem.

,, .. l-x² d) lim-

*-^>_1 |x +11

im

>0

x² -2x

II)

^(l (x-l)^J

|x² -9|

m ---

*' x -3

e) lim

x->2

3-

(x-2)²

|x 21 (3 -x)³

f) lim

|x — 31

1.23. Zbadaj, czy istnieje lim / U). Jeśli granica ta istnieje, to ją oblicz. /iluNiruj zadr

X Mą

rysunkiem.

' ¹ * dla x< -l

> *o =-‘;

x² -1 dla x> — 1

³ -2 dla x< 1

b) /(*) =

d) /(*) =

x

1 -X

dla x>l

,2 + x

x • |x | dla x * 0

„    , x₀

1 dla x = 0

—-— dla x * 2

|x -2|    , x₀ = 2.

-1    dla    x=2

1.24.    Oblicz granice:

a) lim-, lim-,

x-*0~    _X    *->⁰⁺ X

_tx ..    2-x²    ,.    2-x²

b) lim-, lim-,

>0“    X    x

x² + 3x , ■ x + 3x

c)    lim-, lim —--

x-*\    1—X X->1⁺    1—X

1.25.    Oblicz granice:

.    3-x    ..    3-x

a) lim ——, lim

d) lim

x² -4x

lim

4x

*->-2⁺ X +2

e) lim

4x -x

lim

4x -x

x->2 x —2    x->2⁺ x ~2

f) lim

3x -x‘

lim

3x —x^Ł

x —>1    1—X x->l⁺    1—X

^x^°~ x‘ x -2

x²

b) lim

x—>0

x -2

lim

c) lim

x —>1

d) lim

x-»2

2 - 3x - x^2	2-3x-x^2
(x-l)^2	(x — 1 )^2
2 + x - 3x^2	2 + x-3x^2lim-—,
(2-x)^2	(2 -x)^2
2+x -3x^2 -	■ x^5 2+x -3x^2 -
r (x+l)^4	■ lilii . x^-l^+ (x+l)^4
3x^5 -2x^2 +1 1 ---	3x^5 -2x^2 +1 . lim--:— •

f) lim

*-»3"    (3-x)⁴

x->3⁺

(3-x)